第45讲 立体几何计算（几何体的表面积与体积）讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第45讲立体几何计算（几何体的表面积与体积) 【课型】复习课 【教学月标】1.理解并掌握空间几何体的表面积公式并会简单应用 2.理解并学握空间几何体的体积公式并会简单应用 【预习清单】 【基础知识整合】 1圆柱、圆锥、圆台的侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 S图柱鲫=2rl 圆柱 r为底面半径 1为侧面母线长 S圆锥倒=过 圆锥 r为底面半径 1为侧面母线长 S圆台侧=（凸十 圆台 片为上底面半径 2为下底面半径 1为侧面母线长 2直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱梅=c边c为底面周长h为高 正棱锥 S正枪锥侧=12ch'c为底面周长h'为斜高， 即侧面等腰三角形的高 S正棱台侧=12(c十c')h'c'为上底面周长c 正棱台 为下底面周长h'为斜高，即侧面等腰梯形 的高 3.柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积 说明 柱体 V柱体=S边 S为柱体的底面积，h为柱体的高 锥体 V维体=13S为 S为锥体的底面积，h为锥体的高 台体 V台体=13S上+S上S下+S)h S上，S下分别为台体的上、下底面面积， h为台体的高 4.球的表面积公式：S球面=4πR(R为球半径)球的体积公式：V球=43π(R为球半径) 【引导清单】 二.典例精析 考向一：空间中的平行与体积计算 例1：如图，直三棱柱ABC一ABC中，D,E分别是AB,BB,的中点. (1)证明：BC1∥平面A1CD: (2)设AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥C-ADE的体积. 【证明】(1)联结AC1交AC于点F,则F为AC,中点，又D是AB 中点，联结DF,则BC1∥DF.因为DF平面ACD,BC1平面A,CD, 所以BC1∥平面A1CD.(2)解：因为ABC-ABC1是直三棱柱，所以 AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA,∩AB =A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=22得∠ACB =90°，CD=2,AD=6,DE=3,AE=3,故AD2+DE2=AE2,即 DE⊥A1D.所以VC-ADE=13×12×6×3×2=1. 题型二：空间中的垂直与体积计算 例2：如图四棱锥P一ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形， ∠BAD=60 。,已知PB=PD=2,PA=6. (1)证明：PC⊥BD: (2)若E为PA的中点，求三棱锥P一BCE的体积， 【证明】(1)联结AC,交BD于0点，联结PO.因为底面ABCD是菱形， 所以AC⊥BD,BO=DO.由PB=PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC=0知，BD⊥ 面APC,又PC平面APC,因此BD⊥PC. (2)因为E是PA 的中点，所以VP-BCE=Vc-FEB=12VcP8=12VB-re.由PB=PD=AB=AD=2 知，△ABD≌△PBD.因为∠BAD=60°，所以P0=A0=3,AC=23,B0= 1.又PA=6,故P02+A02=PA2,即P0⊥AC.故S△c=12P0·AC=3.由(1)知，B0⊥面APC, 因此VP-cE=12VB-Ac=13·12·S△Arc·B0=12. 题型三：空间几何体证明计算其他问题 例3：如图所示，直四棱柱ABCD一AB,CD中，AB∥CD,AD⊥AB, AB=2,AD=2,AA1=3,E为CD上一点，DE=1,EC=3. (1)证明：BE⊥平面BB,CC: (2)求点B1到平而EAC的距离 【证明】(1)：过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=2,EF=AB一DE =1,FC=2.在Rt△BEF中，BE=3. 在Rt△CFB中，BC=6.在△BEC中，因为BE2+BC2=9=EC2,故BE B ⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1. 所以BE⊥平面BB:CC.(2)三棱锥E一ABC1的体积V=13· AA1·S△AB1C=2.在Rt△AD1C1中，A1C1=2121A1D+D1C=32. 同理，EC1=21EC2+CC=32,AE=A1A2+AD2+DE2=23.故S △A1CE=35.设点B1到平面EAC1的距离为d,则三棱锥B1一ACE 的体积V=13·d·S△A,CE=5d,从而5d=2,d=10)5. 【训练清单】 变式训练1：如图四棱柱ABCD一ABCD的底面ABCD是正方形， 0是底面中心，A10⊥底面ABCD,AB=AA1=2. (1)证明：平面ABD∥平面CDB1: (2)求三棱柱ABD一ABD的体积， 【证明】(1)由题设知，BB,∥DD1,∴.四边形BBDD是平行四边形， ∴.BD∥BD1.又BD。平面CDB1,.BD∥平面CDB1 ,AD1∥BC1∥BC,∴.四边形ABCD1是平行四边形， B1 AB∥DC.又A1B。平面CD