第44讲 空间中垂直的判定与性质讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第44讲空间中的垂直的判定与性质 【课型】复习课 【教学月标】1.理解并掌握空间中垂直的判定 2.理解并掌握空间中垂直的性质 【预习清单】 【基础知识整合】 1.空间中平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内 a.bca,a∩b=0.I⊥a./⊥ 线面垂直的判定定理 的两条相交直线都垂直，则 →lLa 该直线与此平面垂直。 如果一个平面经过另一个平 面面垂直的判定定理 面的一条垂线，则这两个平 lca,l⊥a→a⊥β 面互相垂直 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 若果两条直线同垂直于一 16 线面垂直的性质定理 个平面，那么这两条直线 a⊥a,b⊥a→a∥b 平行 如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于 a 1 B I c B.a nB a.I La 面面垂直的性质定理 交线的直线垂直另一个平 →lLa 面 【引导清单】 考向一：空间中垂直关系的判定 例1：如图所示，己知PA⊥⊙0所在平面，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上任意一点，过A 作AE⊥PC于点E,AF⊥PB于点F, 求证：(1)AE⊥平面PBC: (2)平面PAC⊥平面PBC: (3)PB⊥EF. 【证明】(1)因为AB是⊙0的直径，所以∠ACB=90°，即AC⊥BC.叉 因为PA⊥⊙0所在平面，即PA⊥平面ABC.又BCC平面ABC,所以BC ⊥PA.又因为ACOPA=A,所以BC⊥平面PAC.因为AEc平面PAC,所 以BC⊥AE.又己知AE⊥PC,PCnBC=C,所以AE⊥平面PBC.(2)因为 AE⊥平面PBC,且AEC平面PAC所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因 为AE⊥平面PBC,且PBC平面PBC,所以AE⊥PB.又AF⊥PB于点F, 且AF∩AE=A,所以PBL平面AEF.又因为EFC平面AEF,所以PB⊥ EF. 例2：如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD ∥AB,AB=2AD=2,CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60 ”,点M、N分别是PA、PB的中点.求证： (I)四边形MNCD是直角梯形： (2)DN⊥平面PCB. 【证明】(I)因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD.因为PD⊥底 面ABCD,CD平面ABCD,所以CD⊥PD.因为ADOPD=D,所 以CD⊥平面PAD.因为MDC平面PAD,所以CD⊥MD.又MN∥CD, N≠CD,所以四边形MNCD是直角梯形，(2)因为PD⊥底面 ABCD,所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD=60°在Rt△PDA 中，AD=2,PD=6,PA=22,MD=2. 在直角梯形MNCD中，MN=1,ND=3,CD=3,CN=MD2+ D (CD-MN)2=6, 从而DN2+CN2=CD2,所以DN⊥CN.在Rt△PDB中，PD=DB=6, B N是PB的中点，则DN⊥PB.又PB∩CN=N,所以DN⊥平面PCB 考向二：空间中垂直关系的性质 D 例3：如图，在正方体ABCD-ABCD中，点E、F分别在A1D、AC F 上，且EF⊥A1D,EF⊥AC.求证：(1)EF⊥平面ABC(2)EF∥BD. 【证明】(1)EF⊥AD,A1D∥B1C,∴.EF⊥BC,又EF⊥AC,且 AC∩B1C=C,.EF⊥平面AB1C;(2)如图所示，连接AB1、B1C、BD D C ,DD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD.∴.DD1⊥AC又AC⊥BD,且 BDODD1=D,.AC⊥平面BDD1.,BD1C平面BDD1,.BD1⊥AC.同 理可证BD1⊥B1C.∴.BD1⊥平面AB1C,EF⊥A1D,AD∥B1C,.EF⊥ B1C又EF⊥AC,且AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,,EF∥BD 【训练清单】 变式训练1：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD,AB∥ CD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=I2AB,PH为△PAD中AD边上的 高. (1)证明：PH⊥平面ABCD: (2)证明：EF⊥平面PAB. 【证明】(1)因为AB⊥平面PAD,PHC平面PAD,所以PH⊥AB 因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为PHA平面 M ABCD,AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD,所以PH⊥平面ABCD (2)取PA中点M,连接D,ME因为E是PB的中点， H 所以ME平行且等于12AB.又因为DF平行且等于12AB,所以ME B 平行且等于DF,所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD=AD,所以MD ⊥PA.因为AB⊥平而PAD,所以MD LAB.因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF ⊥平而PAB 变式训练2