第43讲 空间中平行的判定与性质讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第43讲空间中的平行的判定与性质 【课型】复习课 【教学月标】1.理解并掌握空间中平行的判定 2.理解并掌握空间中平行的性质 【预习清单】 【基础知识整合】 空间中平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 若平面外一条直线与此平 线面平行的判定定理 面内的一条直线平行，则 1∥a,ga,1a→1∥ 该直线与此平面平行 a (线线平行→线面平行 如果一个平面内有两条相 面面平行的判定定理 交直线都平行于另一个平 a∥E,b∥E,anb=P, 面，则这两个平面平行 aa,ba→a∥B (线面平行→面面平行) 2. 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面 平行，那么过该直线的任 线面平行的性质定理 意一个平面与已知平而的 1∥a,LB,anB=b →1∥b 交线与该直线平行 (线面平行→线线平行) 如果两个平行平面同时与 面面平行的性质定理 第三个平面相交，那么它 a∥E,any=a,Bny 们的交线平行 =b→aHb (面面平行→线线平行) 【引导清单】 考向一：空间中平行关系的判定 例1：如图所示，在正方体ABCDA B1CD1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、CD、AA 的中点，求证：(I)BF∥HD: (2)EG∥平面BBDD. 证明：(I)取BB的中点M,易证四边形HMCD,是平行四边形， HD1∥MC1.又MC1∥BF,∴.BF∥HD1.(②)取BD的中点O,连结EO、 DO,则OE∥=12DC,又DG∥=12DC,∴.OE∥=DG,∴.四边形 OEGD1是平行四边形，∴.GE∥DO.又DOC平面BB1DD,∴.EG D---- ∥平面BBDD 例2：如图所示，在三棱柱ABC41BC1中，E,F,G,H分别是AB,AC, AB,A1C的中点，求证： (1)B,C,H,G四点共面： (2)平面EFA1∥平而BCHG. 【证明】(I)因为G,H分别是A1B,A1C的中，点，所以GH∥BC1又 BC1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.（②）在△ABC 中，E,F分别为AB,AC的中点，所以EF∥BC因为EF'平面BCHG, BC已面BCHG,所以EF∥平面BCHG.又因为G,E分别为A1B1, AB的中，点，所以A1G统EB,所以四边形AEBG是平行四边形，所以AE∥GB.因为A1E 平面BCHG,GB面BCHG, 所以AE∥平面BCHG,又因为A1E∩EF=E,AE,EF□面A1EF,所以平面EFA1∥平面 BCHG. 考向二：空间中平行关系的性质 例3：如图所示，在四棱锥P4ABCD中，四边形ABCD是平行四边形， AM是PC的中点，在DM上取一点G,过G和PA作平面交BD于点 H求证：PA∥GH. 【证明】如图所示，连接AC交BD于点O,连接OM因为四边形 ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又M是PC的中点，所 Dx- 以PA∥OM.又OM=子面B卧D,PA'平面B队MD,所以PA∥平面BD 又平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH 【训练清单】 变式训练1：如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，S是BD1的中点，E、 F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证： (I)直线EG∥平面BDD1B1: (2)平面EFG∥平面BDDB1 【证明】(I)如图，连接SB,,E、G分别是BC、SC的中点， .EG∥SB又，SBC平面BDDB1,EG4平面BDDB1,∴.直线EG∥平面 BDDB1.(2)连接SD,,F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD 又，SDC平面BDDB1,FGA平面BDDB1,∴.FG∥平面BDDB1,且EG C平面EFG,FGC平面EFG,EGnFG=G,∴.平面EFG∥平面BDDB, 变式训练2：如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB, 过BC的平面交棱FD于点P,交棱FA于点Q.证明：PQ∥平面ABCD 【证明】因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC,AD‖BCAD一子面ADFBC 平面ADF=BC∥平面ADF, BCI平面ADFBC□乎面BCPQ平面BCPQn平面ADF=PQ →BC∥PQ, POBCPO平面ABCDBC=平面ABCD→PQ∥ 平面ABCD 【巩固清单】 1.已知两条不同的直线1，m,两个不同的平面a,B,则下列 条件能推出a∥的是(C) A.ICa,mCa,且l∥B,m∥BB.ICa,mCB,且l∥m C.1a,m⊥B,且1∥m D.1∥a,m∥B,且1∥m 【解析】借助正方体模型进行判断.易排除选项A,B,D,故选C 2.平面a∥平面的一个充分条件是(D) A.存在一条直线a,a∥a,a∥B B.存在一条直线a,aCa,a∥B C.存在两条平行直线a,b,aC