第41讲：双曲线及其方程讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第41讲：双曲线及其方程 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握双曲线的定义与方程 2.理解并掌握双曲线的几何意义 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.双曲线的概念：平面内动点P与两个定点F1、F2(FF2=2c>0)的距离之差 的绝对值为常数2a(0<2a<2c),则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线 的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P={MMF一M2=2},FF2=2c, 其中a、c为常数且a>0,c>0: (1)当a≤c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a=c时，P点的轨迹是两条射线： (3)当a>c时，P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2-y2b2=1 y2a2-x2b2=1 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 图形 范围 x≥a或x≤一a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称 性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A(0,-a),A2(0,a) 渐近 性 线 y=±bax y=±abx 质 离心 率 e=ca,e∈(1，+∞)其中c=a2+b2 线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长A142=2a: 实虚 线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长|BB2=2b: 轴 a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴 长 a、b、c 的关系 c2=2+2(c>a>0,c>b>0) 3.等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程为y =士x,离心率为e=2. 4.双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F,F2分别为双曲线的左、右焦点，则PFmn= a+c,PF2min=c-a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为2b2,异 支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F,F2分别为双曲线的左、 右焦点，则S△PFF2=·102,其中0为∠FPF2 5.巧设双曲线方程 ①与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2-y2b2 =t(t≠0). ②若双曲线的渐近线方程为y=±bax,则双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=入 (入≠0)： ③过己知两个点的双曲线方程可设为mx2+ny2=1(m<0). 【引导清单与训练清单】 考向2：双曲线的定义，标准方程及其性质应用 例2：(1)平面内到点F(0,4),F2(0,一4)的距离之差等于6的点的轨迹 是 (2)设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且 PF=6,则PF2= (3)设F,F2是双曲线x24-2=1的焦点，点P在双曲线上，且满足∠FPF =90°，则△FPF2的面积是 (4)已知方程x24一k+y2k一2=1，若该方程表示双曲线，则k的取值范围 是 ,若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是 (5)已知双曲线通过M(1,1),N(一2,5)两点的双曲线方程为 (6)双曲线C的两焦点分别为（一6,0），(6,0)，且经过点（一5,2），则双曲 线的标准方程为 (7)与双曲线x29一y216=1有共同的渐近线，且过点（一3,23）的双曲线方程 为】 (8)在平面直角坐标系x0y中，若双曲线x2一y2b2=1(b>0)经过点(3,4)，则该 双曲线的渐近线方程是 (9)若双曲线x2a2一y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，则渐近线方程为 (10)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，过F作C的渐 近线的垂线FD,垂足为D,且满足|FD=12OF(O为坐标原点)，则双曲线的离 心率为 【解析】(1)由PF-|PF2=6<FF2=8,得a=3,又c=4,则b=c2-a =7,所以所求点的轨迹是双曲线y29-x27=1的下支；(2)由双曲线的标准方 程可得a=1,则|PF-PF2=2a=2,即6一PF2=2,解得PF2=4或8： (3)双曲线x24一y2=1中，a=2,b=1,c=5.可设点P在右支上，由双曲线 的定义可得|PF-PF2=4,两边平方得，PF2+PF|2-2PF·PF2=16, 又PF2+PF22=(2c)2=20,所以△PFF2的面积为12PF1·PF2=1:(4) 方程x24一k+y2k一2=1表示双曲线，若焦点在x轴上，则4一k>0,k-2<0, 解得k<2;若焦点在y轴上，则4一k<0,k一2>0，解得k>4,则k的取值范围是 (一∞，2)U(4,十∞).若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则4一k>k-2>0,即 2<k<3,则k的取值范围为(2,3)；(5)设所求双曲线的方程为mx2+y=1 (mm<0).将点M(1,1),N