第40讲：椭圆及其方程讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第40讲：椭圆及其方程 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握椭圆的定义与方程 2.理解并掌握椭圆的几何意义 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.椭圆的概念：在平面内与两定点F、F2的距离的和等于常数（大于FF2)的点 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合P={MMfl+|MF=2a},FF2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数： (1)若a>c,则集合P为椭圆： (2)若a=c,则集合P为线段；(3)若a<c,则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 y2a2+x2b2= x2a2+y2b2=1(a>b>0) 1(a>b>0) 图形 范围 一a≤x≤a -b≤x≤b -b≤y≤b -a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，O) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A(0,-a),A2(0,a B(-b,0),B2(b, B1(0,一b),B2(0,b) 0) 质 轴 长轴A1A42的长为2a 短轴B1B2的长为2b 焦距 FF2=2c a, b,c的关系 c2=a2-b2 离心率 e=ca,e∈(0,1) 3.椭圆焦点三角形的一些结论：已知F1、F是椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，把△PFF称为焦点三角形，则(1) PF+PF|=2a:(2)F=2c:(3)CxF:=2a+2c: (④)若直线PR,交椭圆与另一个点Q,则三角形PQF的周长Cer,=4a (5)若∠FPF=0,则①EF=PF+PF,'-2 PFPF cos0; 0 ②S5s=b2tan号； 2 4.直线与椭圆位置关系判断：(1)联立直线方程与椭圆方程.(2)消元得出关于x (或y)的一元二次方程.(3)当△>0时，直线与椭圆相交：当△=0时，直线与 椭圆相切：当4<0时，直线与椭圆相离。 5.弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y),B(x2,y2),则AB=(1 +k2)「(x1+x2)2-4xlx2]=rc1)(a\vs4\a1lco1(1+1f(1k2)))f(y1+y2) 2一4y1y2](k为直线的斜率). 【引导清单与训练清单】 考向1：椭圆的定义，标准方程及其性质应用 例1：(1)平面内一点M到两定点F(0,一9)，F(0,9)的距离之和等于18，则 点M的轨迹是 (2)己知椭圆x225+y216=1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到 另一个焦点F2的距离为 (3)已知点F,F2分别为椭圆C:x24十y23=1的左、右焦点，若点P在椭圆C 上，且∠FPF2=60°，则S△F1PF2= (4)已知方程x2m一1十y22一m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范 围是 (5)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F、F2,离心率为3) 3,过F2的直线I交C于A、B两点.若△AFB的周长为43，则C的方程为 (6)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P(6,1),P2(一3， 一2》，则椭圆的方程为 (7)若直线X一2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程 为 (8)过点(3，一5)，且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 (9)椭圆x29+y24+k=1的离心率为45，则k的值为 (10)己知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF⊥PF2,且∠PFF =60°，则C的离心率为」 【解析】(1)解析：由题意知MF+F2=18,但FF2=18,即MF+MF =FF2,所以点M的轨迹是一条线段..(2).因为a2=25,所以2a=10,所以 由定义知，PF+PF2=10,所以PF2=10-|PF=7.(3)由PF+|PF =4,|P℉|2+|PF22-2PF·|PF2|cos60°=FF22,得3|P℉|·P℉2=12， 所以PF|·PF2|=4,则S△FP℉2=12PF·PF2|sin∠FPF2=12X4sin60 =3.(4)依题意应有\a\vs4\al\co1(m-1>0,2-m>0,m-1<2-m,) 解得<-1或1<m<32.(5)由e=3)3,得ca=3)3①.又△AFB的周长为43，由 椭圆定义，得4a=43,得a=3,代入①得c=1,,∴.b2=a2-c2=2,故C的方程 为x23+y22=1.(6)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n)..椭圆经 过P,P2两点，∴.P,P2点坐标适合椭圆方程，则6m十n=1, ①3m+2n=1, ②)①②两式联立，解得m=1f(1913).∴.所求 椭圆方程为x29+y23=1.(7)直线与坐标轴的交点为(0,1)，（一2,0），由题意 知当