第39讲：圆与圆的方程讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第39讲：圆与圆的方程 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握圆的方程形式 2.理解并掌握直线与圆的位置关系 3.理解并掌握圆与圆的位置关系 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.圆的方程形式： (1)标准方程：(x一a)2+(y-b)2=2,圆心坐标为(a,b),半径为x. (2)一般方程：2十y2+Dx+Ey+F=0(DP+2一4F>0),圆心坐标为 a\vs4\al\co1(-\f(D2),半径r=D2+E2-4F)2. 2.点与圆的位置关系 (1)几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：dD台点在圆外，d =r台点在圆上：dKr台点在圆内. (2)代数法：将点的坐标代入圆的标准（或一般）方程的左边，将所得值与2（或 0)作比较，大于2（或0）时，点在圆外；等于2（或0）时，点在圆上：小于2（或 0)时，点在圆内. 3.直线与圆的位置关系 直线1：Ax+By+C=0(A2+P≠0)与圆：(x一a)2+(y一b)2=r2(x>0)的位置关系 如下表. 几何法：根据d=Aa+Bb 代数法：Ax+By+C=0x一a 2+ 位置关系 y-b2=r2) +Cr(A2+B2)与x的大 小关系 消元得一元二次方程，根据判别式△的 符号 相交 Kr △>0 相切 d=r △=0 相离 dr △<0 4.圆与圆的位置关系 表现形式 几何表现：圆心距d与 位置关系 1、2的关系 公切线的条数 相离 d>r+r2 4 外切 d=i1+2 3 相交 1-2<d水n+2 2 内切 d=r-2(n≠r) 1 内含 0≤d水n1一2(r≠r) 0 【引导清单】 考向一：求圆的方程 例1：(1)圆心在直线y=一4x上，且与直线1：x+y-1=0相切于点P(3,-2), 测圆的标准方程为 (2)若不同的四点A(5,0)、B(一1,0)、C(-3,3)、D(a,3)共圆，则a的值 为 【解析】(1)设所求方程为(x-x)2+(y一y%)2=2(r>0),根据已知条件得y0 =-4x0,(3-x0)2+(-2-y0)2=r2,x0+y0-12))=r,解得x0=1, y0=一4,2).因此所求圆的标准方程为(x一1)2+(y十4)2=8.(2)设过A、B、C 三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别代入A、B、C三点坐标，得25 +5D+F=0,1-D+F=0,9+9-3D+3E+F=0,解得D=-4,253F=-5.所 以A、B、C三点确定的圆的方程为x2+y2-4x一253y-5=0.因为D(a,3)也在 此圆上，所以a2+9-4a-25-5=0.所以a=7或a=-3(舍去).即a的值为7. 考向二：点线圆之间的位置关系 例2：(：1)已知M为圆C:x2+2-4x一14y+45=0上任意一点，且点Q(一2， 3).则MQ的最大值为：最小值为 (2)已知圆C:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+m㎡-3 =0,若圆C与圆C2相外切，则实数m= (3)直线1：3x+y十m=0被圆C:x2+y2一2y一4=0截得的弦长为10，则m的 值为 【解析】(1)由圆C:x2+y2-4x一14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,所 以圆心C的坐标为(2,7)，半径r=22.|QC=(2+2)2+(7-3)2=42.所 以MQax=42+22=62,M0mn=42-22=22.(2)圆C1和圆C2的标准方程为 (x-m)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-m2=4,圆心分别为C(m,一2)，C2(-1, m),半径分别为3,2.当两圆外切时，(m十1)2+(m十2)2=5，解得m=2或m =一5.(3)圆C:x2+y2-2y-4=0化为x2+(y-1)2=5.圆心为(0,1)，半 径r=5.所以C(0,1)到1的距离d=/3×0+1+m/八r(32+12)=1+m /r(10),所以截得的弦长为2r2-d2=2(1+m)210)=10.解得m=4或m=一 6. 【训练清单】 【变式训练】(1)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上 的圆的方程为 (2)已知圆E经过三点A(0,1),B2,0),C0,一1)，且圆心在x轴的正半轴 上，则圆E的标准方程为 【解析】(1)（法一）由题意知kB=2,AB的中点为(4,0)，设圆心为C (a,b),因为圆过A(5,2),B(3,一2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平 分线上，则\f(b122a-b一3=0，解得a=2,b=1,)所以C(2,1),所以r= CA=(5-2)2+(2-1)2=10.所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. (法二)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=2,则2a-b一3=0，(