第38讲：直线与直线方程讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第38讲：直线与直线方程 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握直线的方程形式 2.理解并掌握两条直线的位置关系 3.理解并掌握平面中三个距离公式 【预习清单】 【基础知识梳理】 一.直线方程 1.直线的倾斜角与斜率的关系 (1)倾斜角a的取值范围：0°≤a<180°.倾斜角为a(a≠90°)的直线的斜 率k=tana,倾斜角为90°的直线斜率不存在.当0°<a<90°时，k>0且k 随倾斜角a的增大而增大. 当90°<a<180°时，k<0且k随倾斜角a的增大而增大. 2.直线方程 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y1=k(x一x) 不能表示与x轴垂直的直线 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 两点式 y-yly2-y1=x-x1x2-x1 不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式 xa+yb=1 不能表示与坐标轴垂直和过原点的 直线 般式 Ax+By+C=0(A,B不同时为 0) 适合所有的直线 3.两直线的位置关系 位置关11：y=kx+b112:y=k2x 1:Ax+By+C=0 12:A2x+B2y 系 +b2 +C2=0 平行 k1=k2,且b1≠b2 A:B2-A2B=0,且BC2-B2C1≠0 相交 k≠特别地，1L2 AB2≠AB1特别地，11⊥12台A1A2 →k1k2=一1 +B1B2=0 重合 k1=k2且b1=b2 A B2-A2B=0 B C2-B2C=0 4.距离公式 (1)两点P(x1,y),P(x2,y2)间的距离：PP2|=x1-x22+y1-y2 2 (2)点P(xo,o)到直线1：Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C\r(A2+B2). (3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax十By+C,=0与Ax+By+C2=0间的距 离d=|C1-C2r(A2+B2). 【引导清单】 考向1：直线的倾斜角，斜率及直线方程 例1：(1)经过两点A(4,2y+1),B(2,一3)的直线的倾斜角为3严4，则y=_ (2)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过点A(一1，一3)，倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍 【解析】(1)tan34=2y+1-(-3)4-2=2y+42=y+2,因此y+2=-1, y=一3.(2)设直线1在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即1过点(0,0)和(3,2)， .1的方程为y=23x,即2x一3y=0.若a≠0，则设1的方程为xa+ya=1,,1 过点(3,2)，.3a+2a=1,∴.a=5,.1的方程为x+y-5=0,综上可知，直线 1的方程为2x一3y=0或x+y-5=0.(3)由已知：设直线y=3x的倾斜角为a, 则所求直线的顿斜角为2a.“,tana=3,∴.tan2a=2tana1一tan2a=一 34.又直线经过点A(一1，一3)，因此所求直线方程为y+3=一34(x+1),即3x +4y+15=0. 考向2：两条直线的位置关系 例2：(1)经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，并且垂直于直 线3x十4y一7=0的直线的方程为 (2)若直线11：mx一y一2=0与直线12：(2-mx一y十1=0互相平行，则实数 m的值为 (3)已知直线11：2ax+(a+1)y+1=0,12:(a+1)x+(a-1)y=0,若11⊥12， 则a= 【解析】(1)（方法一）由方程组2x+3y+1=0,x一3y+4=0)解得x=一) f5379)即交点为avs4 alcol(-Mf(579). 因为所求直线与直线3x十4y一7=0垂直，所以所求直线的斜率为k=43.由点斜 式得所求直线方程为y-79=43las4alco1+/53),即4x一3y+9=0.(方法 二)由垂直关系可设所求直线方程为4x一3y十m=0,由方程组2x十3y+1=0, x一3y十4=0)可解得交点为avs4 alcol(一f579),代入4x一3y十m=0得m=9, 故所求直线方程为4x-3y+9=0.(2)因为直线11：mx一y-2=0与直线12：(2-m) x一y+1=0互相平行，所以一m十(2一m)=0,m+2(2一m)≠0，)解得m=1. (3)因为直线11：2ax+(a+1)y+1=0,12:(a+1)x+(a-1)y=0,11⊥12， 所以2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0,解得a=13或a=-1 考向三：平面中的距离公式 例3：(1)已知A(-1,2),B(2,7),在x轴上求一点P,使得PA=PB,并 求PA的值. (2)已知点P(4,a)到直线4x一3y一1=0的距离不大于3，则a的取值范围是 (3)若两平行直线3x一2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为13)13，则c的值 是 【解析】(1)设所求的点为P(x