第37讲：平面向量讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第37讲：平面向量 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握平面向量的概念与运算 2.理解并掌握平面向量的坐标运算 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模。 (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的。 (3)单位向量：长度等于1个单位的向量， (④)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线， (⑤)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (⑥)相反向量：长度相等且方向相返的向量 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 /b 交换律：a十b=b十a 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 b 结合律：(a+b)十c=a+(b+ c 平行四边形法则 减法 求a与b的相反向量一b 的和的运算 a-b=a+(-b) 三角形法则 |Aa=LAal,当λ>0时，Aa 数乘 求实数入与向量a的积 与a的方向相同： λ（μa)=(入）a: 的运算 当入<0时，入a与a的方向相反： (入十卫)a=入a十L 当入=0时，Aa=Q x(a十b)=Aa+Ab 3.向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得b=入 4.两个向量的夹角 (1)定义：己知两个非零向量a和b,作=a,一=b,则∠40B称作向量a和向 量b的夹角，记作8. 6 (2)范围：向量夹角0的范围是[0，π]. (3)向量垂直：如果e=π2，则a与b垂直，记作：a⊥b. (4))向量平行：如果6=0或6=r,则a与b平行，记作a∥b 5.向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义：a/b|cos(a,b)叫做向量a和b的数量积（或内积），记作 a·b,即a·b=a/1bcos(a,b). (2)几何意义：投影：|bcos0叫作向量b在a方向上的投影，投影可正可负也可为零 (3)向量数量积的性质：①a·a=a2,a=a·a;②aLb-a·b=0;③cos8=a· bab(a/b≠0)： (4)数量积的运算律：①交换律：a·b=b·a.②分配律：(a十b)·c=a·c十b·c.③对入 ∈R,A(a·b)=(入a)·b=a·(Ab).数量积运算不满足结合律 6.平面向量的坐标运算： (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(,),b=(x2,y2),则a十b=(x十， 当+22，a-b=(&-,M=22,Aa=（A,Ay2,|a=22. (2)向量坐标的求法：①一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标 ②设A(x1,),B(x2,),则=-五，五-2,1=x2-x12+y2-y1 2 (3)数量积的坐标运算设a=(x1,),b=(,),则 ①a·b=x2+y12:②a⊥bex1x2+y1y2=0:③|a=221:④cos0=x1x2+y1y2x o\al (2x\olal (222). (4)两个重要的充要条件：a∥b~xy2-x2y1=0.a⊥b=xx2+y1y2=0 【引导清单】 考向一：向量的基本概念 例1：给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若{= b,则a=b或a=一b:③若A,B,C,D是不共线的四点，且=，则四边形ABCD为平 行四边形：④a=b的充要条件是|a=|b且a∥b.其中真命题的序号是 【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等：但两个向量相等， 不一定有相同的起点和终点.②是错误的，a=|b,但a,b方向不确定，所以a,b的 方向不一定相等或相反.③是正确的，因为”=，所以“=且∥，又，B,G D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形.④是错误的，当a∥b且方向相反时， 即使|a=|bl,也不能得到a=b,所以a=|b且a∥b不是a=b的充要条件，而是必要 不充分条件， 考向二：平面向量的线性表示 例2：(1)若ke+e2和e十ke2共线，则实数k的值为 (②)设D为△ABC所在平面内一点，=3，则() A.”=-13+43B.=13-43C.”=43+13D.=43-13 【解析】(1)因为k十与e+ke2共线，所以存在A,使ke+e2=A(e+ke),则(k-A)》 e=(Ak-1)e2,由于e1与不共线，只能有k-A=0,Ak一1=0，)所以k=±1.(2)法 一：因为=3，所以=13，所以=+=+13=+13（广-）=-13十 43故选A.法二：因为=3，所以-一=3（广-），所以=-13+43故选 A. 考向三：平面向量的数量积运算（非坐标运算） 例3：(1)已知a=5,b=4,当a与b平行时，a·b=:当a与b垂直时，a· b= ；当a与b的夹角为120°时，a·b= (2)已知向量a,b的夹角为60°，a=2,b=1,则