第36讲：参数方程讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第36讲：参数方程 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握参数方程的概念并会进行参普互化 2.会写出直线、圆、椭圆的参数方程并会简单的应用 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.曲线的参数方程：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是 某个变数t的函数x=),y=g①)，)并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P (,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x,y之间关系的变数 t叫作参变数，简称参数。 2.参数方程和普通方程的互化：曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般 地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程，相对于参数方程，我们把直接用坐标(x, )表示的曲线方程x,y)=0叫作曲线的普通方程， 3。常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 x=x0+tcos ay=y0+tsin a)(t y一y%=tano(g-xo) 为参数)， 圆 (x-a)2+(y-b)2=2 x=a+rcos 0y=b+rsin 0)(0 参数). 椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) x=acos0y=bsin0)(0为参数) 抛物线 y2=2px(p>0) x=2pt2y=2pt)(t为参数) 【引导清单】 考向一：参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： (1)x=1+t2,y=2+t)(t为参数)；(2)x=t+1f(1t1t)-t(t为参数)：(3)x=4sin9,y =5c050)(0为参数). 【解】(1)由x=1+12t得t=2x一2..y=2+3)2(2x-2)..3x-y+2-3=0,此方程表 示直线.(2)由y=2+t得t=y-2,∴.x=1+(y-2)2.即(y-2)2=x-1,此方程表示抛物 线.(3)由x=t+\f(1t1t)-t②.①2-②2得x2-y2=4,此方程表示双曲线.(4) x=4sin y=5cos 0),sin =\f(x4y5) ②①2+②2，得x216+y225=1,此方 程表示椭圆. 考向二：直线参数方程的应用 【例2】己知直线1经过点P(1,1),倾斜角a=6. (1)写出直线1的参数方程： (2)设1与圆x2+y2=4相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积。 【解】(1)直线的参数方程为x=1+tcos\f(r6r6),即x=1+f(r(3212)t(t为参数). (2)把直线x=1+\f(r(3212)t代入x2+y2=4,得a\vs4a1\co1(1+f(r(3)2)t)2+ a\vs4\a1\co1(1+\f(12)t)2=4,t2+(3+1)t-2=0,t:t2=-2,则点P到A、B两点的距 离之积为2. 考向三：圆，椭圆参数方程的应用 【例3】己知点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点. (1)求2x十y的取值范围：(2)若x十y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围. 【解】(1)设圆的参数方程为x=cos0,y=1+sin0,)2x+y=2cos0+sin0+1=5sin (8+φ)+1， .-5+1≤2x+y≤5+1.(2)x+y+a=cos8+sin8+1+a≥0，，.a≥-(cos0+ sin 0)-1=-2sin\a\vs4\al\col(8 +\f(4))-1,.a22-1. 考向四：极坐标、参数方程综合应用 【例4】在直角坐标系x0y中，直线1的参数方程为x=3-1f(r(225)+\f(r(22)t(t为 参数)，在极坐标系（与直角坐标系x0y取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半 轴为极轴)中，圆C的方程为p=25sin0. (1)求圆C的直角坐标方程： (2)设圆C与直线1交于点A,B.若点P的坐标为(3,5)，求|PA+|PB: 【解】（方法一）(1)p=25sin0,得x2+y2-25y=0,即x2+(y-5)2=5.(2)将1的参数 方程代入圆C的直角坐标方程，得(3-2)2t)2+2)2t)2=5,即t2-32t+4=0.由于△=(32) 2一4×4=2>0，故可设t1,t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=3\r(2),t1·t2=4.)又 直线1过点P(3,5),故由上式及t的几何意义得PA+PB=|t|+|t2=t+t2=32.(方 法二)(1)同方法一·(2)因为圆C的圆心为点(0,5)，半径r=5,直线1的普通方程为y =-x十3+5.由x2+y-\r(5)2=5,y=-x+3+r(5)得x2-3x+2=0.解得x=1, y=2+1r(5)或x=2,y=1+r(5).)不妨设A(1,2+5),B(2,1+5),又点P的坐标为(3， 5),故|PA+PB=8+2=32. 【训练清