第34讲：解三角形（正余弦定理）讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第34讲：解三角形（正余弦定理) 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握正余弦定理的内容及所能处理的问题 2.能利用正余弦定理解三角形、判定三角形形状及实际应用 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.三角形的有关性质：(1)在△ABC中，A+B+C=π；(2)a+b>c,a-b<c;(3)ab=sinA >sin BeA>B;(4)在三角形中有：sin2A=sin2B=A=B或A+B=π2=三角形为等腰或直 角三角形：(5)sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2. 2.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 内容 asin A=bsin B=csin C=2R b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. Da=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2RsinC; 变形 2sinA=a2R sinB=b2R sinC=c2R; cos A=b2+c2-a22bc:cos B=a2+ 形式 3a:b c=sin A sin B sin C c2-b22ac; Da+b+csin A+sin B+sin C= cos C=a2+b2-c22ab asin A-2R ①己知两角和任一边，求另一角和其他 两条边。 解决 ①已知三边，求各角： 的问题 ②已知两边和其中一边的对角，求另 ②己知两边和它们的夹角，求第三边和 边和其他两角。 其他两个角。 4.三角形面积公式：SAc=12ahh表示边a上的高)=12 absin C-=12 acsin B=12 besin A: 5.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角（如图①》. 视线 仰角 水平线 角 视线 ① (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等， (3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为ā（如图②》 【引导清单】 考向一：利用正余弦定理解三角形 例1：在△ABC中，(1)若A=45°，B=30°，a=2,求b,c (2)在△ABC中，若a=1,b=1,C=120°求c: 【解】(1)由三角形内角和定理，得：C=180°一(A+B)=180°一(45°十30°)=105°.由 正弦定理asin A=bsin B=csin C,b=asin Bsin A=2sin30°sin45°=12\r(22=2, sin105°=sin(60°+45°)=6)+\r(2)4,c=asin Csin A=2sin105°sin45°=V r(6)+r(24\r(22=3+1.(2)c2=a2+2-2 abcos C=1+1-2cos120°=3，.c=3. 考向二：利用正余弦定理判定三角形状 例2：在△4BC中，若a2+b2-c2=ab,且2 cos.Asin B=sinC,试判断△ABC的形状 【解】法一：利用边的关系米判断：由正弦定理得sin Csin B=cb,由2 cos.Asin B=sinC, 有cosA=sinC2snB=c2b.又由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc,所以c2b=b2+c2 a22bc,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又因为a2+b2-c2=ab.所以2b2-c2=b2, 所以b2=c2,所以b=c,所以a=b=c所以△ABC为等边三角形.法二：利用角的关系来 判断：因为A+B+C=180°，所以sinC=sin(4+B),又因为2 cos Asin B=sinC,所以2cos Asin B=sinAcos B+cosAsin B,所以sin(4一B)=0.又因为A与B均为△ABC的内角，所以 A=B,又由a2+b2-c2=ab, 由余弦定理，得cosC=a2十b2-c22ab=ab2ab=12,又0°<C<180°，所以C=60°，所以△ ABC为等边三角形 考向三：正余弦定理在处理三角形周长和面积问题 例3：△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sn(4+C=8sinB2 (1)求cosB;(2)若a+c=6,△4BC的面积为2，求b 【解】(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sinB2,故snB=4(1-cosB).上式两边平方， 整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)，cosB=1517.(2)由cosB=1517得 sinB=8I7,故S△A8c=I2 acsin B=417ac又S△48c=2,则ac=I72.由余弦定理及a十c=6得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)