第33讲：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第33讲：函数y=Asin(ox+中)的图像与性质 【课型】复习课 【教学日标】L.掌握并掌捏y=Asin(wx+)的图像变换 2.理解并掌握y=Asn(ox十中)的解析式求法 3.理解并掌握y=Asin(wx+中)的性质及应用 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.y=Asin(wx十中)的有关概念 y=Asin(ax十 振幅 周期 颜率 相位 初相 中)(A>0,o>0),x∈ [0,十o)表示一个振 A T=2开@ f=IT=w2n X十电 动量时 2.函数y=Acos(wx+中)的最小正周期为2r|o|.y=Atan(wx+中)的最小正周期为r |@1. 3,用五点法画y=Asin(wx十中)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(wx十中) 一个周期内的简图时， 要找五个特征点.如下表所示。 0 2- X I20 3r20 中d 中( 中 x十中 0 n2 3I2 2n y=Asin(0 x+ 0 A 中)】 0 一A a 4.图象变换：函数y=Asin(wx十中)(A>0,w>0)的图象可由函数y=sinx的图象作如下 变换得到：(1)相位变换：y=sinx→y=sin(x+中)，把y=sinx图象上所有的点向左( >0)或向右（中<0）平行移动|中|个单位 (2)周期变换：y=sin(x+)→y=sin(wx+中)，把y=sin(x+中)图象上各点的横坐 标伸长(0<w<1)或缩短(w>1)到原来的1o倍（纵坐标不变）. (3)振幅变换：y=sin(wx十)→y=Asin(wx十)，把y=sin(wx十中)图象上各点 的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍（横坐标不变）. 5.确定y=Asin(wx+中)+b的解析式的步骤：(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m, 则A=M一m2,b=M+m2.(2)求公，确定函数的周期T,则w=2πT.(3)求，常用的方法有： ①代入法：把图象上的一个己知点代入（此时A,w,b已知）或代入图象与直线y=b的交点 求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）.②特殊点法：确定中值时，往往以 寻找“最值点”为突破口，具体如下：“最大值点”（即图象的“峰点”）时⊙x十中=2； “最小值点”（即图象的“谷点”）时0x十中=3π2 6.函数y=Asin(ox十中)(A>0,o>0)性质： (1)单调性：增区间由一r2十2kr≤wx十中≤π2十2kr,k∈Z得：增区间由r2十2kπ ≤2x-r6≤3n2十2kr,k∈Z(2)最值：最大值为A,当且仅当wx十中=2k十π2k∈Z 取最大值：最小值为一A,当且仅当wx十中=2k十3π2k∈Z取最大值。(3)周期：T= 2r0 (4)对称性：对称轴由ωx十中=kπ十r2k∈Z得：对称中心由(ax+中=kr,0)k∈Z 得。 【引导清单】 【典例精析】 题型一：三角函数的图象变换（高颜考点） 例1：(1)将函数y=2sina\vs4\al\co1(2x+\f(π6)的图象向右平移14个周期后，所得图 象对应的函数为」 (2)函数y=sinx一3cosx的图象可由函数y=sinx十3cosx的图象至少向平移 个单位长度得到. 【解析】(1)函数y=2sin\a\vs4\al\col(2x+\f(r6))的周期为元，将函数y=2sin \a\s4\al八col(2x十\f(r6)的图象向右平移14个周期即T4个单位长度，所得图象对应 的函数为y=2sin2blcl0rcr6=2 sin\a\vs4al\co1(2x-\f(r3))(2)因为y=sinx+3cosx =2sin\a\vs4\al\col(x+\f(3)),y=sinx-3cosx=2sin\a\vs4\al\col (x-\f 3)), 所以把y=2 sin\a\vs4\al\col(x十f(r3)的图象至少向右平移2r3个单位长度可得y= 2sin\a\vs4\al\col(x-\f(n3))的图象.] 题型二：由图象确定y=Asin(wx十中)的解析式 例2：(1)己知函数f(x)=Asin(wx+中)(A>0,w>0,|中<π2)的图象如图所示，则f (x)的解析式为 (2)已知函数fx)=Asin(ax十p)十B(4>0,x∈R,o≥0，l)的部分图象如图 所示，则函数x)的解析式为)= 【解析】(1)由题图可知A=1,且14T=14×2πw=7π12-刀3=元4，解得 w=2,.f(x)=sin(2x+中).把a1vs4\alco1(0f(7元12)，-1)代入，得 -1=sin\a\vs4\a11co1(2×\f(7z12)+φ)，，|中|Kπ2，∴.7r6+φ= 3r2,∴.中=π3，∴.f(x)=sinlalvs4\al\col(2x+1f(