第32讲：三角函数图像与性质讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第32讲：三角函数图像与性质 【课型】复习课 【教学目标】1.掌握三角函数的定义及在各个象限的符号 2.理解并掌握三个标准的三角函数的图像与性质 【预习清单】 【基础知识梳理】 一.任意角的三角函数定义： 1.任意角的三角函数定义：设P(x,y)是角a终边上任一点，且P0=r(r>0)则 有sina=y工，cosu=r,tana=yx,它们是以角为自变量，以比值为函数值的 函数. 2.三角函数在各象限内的正值口诀是：正弦上为正，余弦右为正，正切一三正， 其余为负不为正。 二.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 1.在正弦函数y=s1nx,x∈[0,2]的图像上，五个关键点是：(0,0)，（π2,1），（π，0），（③2， -1D,(2π，0). 2.在余弦函数y=cosx,x∈[0,2的图像上，五个关键点是：(O,1),(π2,0)，，一1业， (32,0),(2π，1) 3.五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑） 二.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cosx y=tan x 图象 封 屋 定义域 R R {xx≠kπ十I2,k∈Z 值域 [-1.] [-1,11 R 周期性 2n. 2n 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 [2kr-I2,2kr+T2](k∈Z 单调增区间 单调增区间 单调性 单调减区间 [2kn一r,2kr](k∈ZD: (kT一T2,kE十I2)(k [2kr+π2,2kI+3I2](k 单调减区间 ∈ZD ∈Z0 [2kπ，2k+](k∈ZD 对 称 中 (kπ，02(k∈Z (kr+r2,0)(k∈ZD (kπ2,0)(k∈ZD 对称性 心 对 X=kr十刀2(k∈ZD X=kL(k∈ZD 无 轴 【引导清单】 【典例精析】 题型一：三角函数的定义（高频考点） 例1：(1)若tana>0,则() A.sin a>0 B.cos a>0 C.sin 2a>0 D.cos 2a>0 (2)已知角0的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y 2x上，则c0s20= 【解析】(1).tana>0,∴.a∈lalvs4\al\co1(kπ，kπ+lf(π2)(k∈Z)是 第一、三象限角.∴.sina,cosa都可正、可负，排除A,B.而2a∈(2k, 2kπ十r)(k∈Z),结合正、余弦函数图象可知，C正确.取a=4,则tana =1>0,而cos2a=0,故D不正确.(2)取终边上一点(a,2a),a≠0，根据任 意角的三角函数定义，由tan0=2,可得cos0=±5)5，故cos20= 2c0s20-1=-35. 题型二：三角函数的图像与性质 例2：(1)函数x)=一2 tanlavs4 alcol(2x+/π6)的定义域是 (2)函数x)=3 sin alvs41 al.col(2x一fπ6)在区间O,fπ2)上的值域为 (3)函数x)=sin2x+3cosx-34 alvs-4 alicol(x∈bilcifrcl]Aavs4 alicol0, fπ2的最大值是 (4)函数x)=sinalvs4aco1(一2x+π3)的单调递减区间为 【解析】(1)由2x十π6≠机十π2，得x≠kπ2+π6(k∈Z).(2)当x∈0，fπ2) 时，2x-π6∈-fπ5π6)，所以sinlalvs41 alcol(2.x-fiπ6)∈-/12)，1)，故3sim as4 alco1(2x一fπ6)∈一f32),3),所以画数fx)在区间0，fπ2)上的值域为 -f32),3).(3)依题意，fx)=sin2x+3cosx-34=-cos2x+3cosx+14=-) as4 allco1(cosx-fr(32)2+1,因为x∈0，π2)，所以cosx∈[0,1]，因此 当cosx=3)2时，x)mx=1.(4)x)=sinlalvs-4alco1(-2x+fπ3)=sin- b1 lercynalvs4.alcol(2x-/fπ3))=-sinlalvs4 allcol(2x-ftπ3)，由2kπ-π2≤ 2x-π3≤2km+π2，k∈Z,得km一π12≤x≤km十5πl2,k∈Z. 故所求函数的递减区间为π一（π5元l2),k∈Z 【训练清单】 【变式训练1】(1)设角a终边上一点P(-4a,3a)(a<0),则sina的值为 (2)已知角a的终边上一点P(一3，m)(m≠0)，且sina=2)m4,则m= 【解析】(1)设点P与原点间的距离为r,,P(一4a,3a),a<0,∴.r=(一4a)》 2+(3a)2=|5a=-5a.∴.sina=3ar=-35.(2)由题设知x=-3,y=m, .2=OP2=(-3)2+m2(O为原点)，r=3+m2.∴.sin