第31讲：三角函数公式（二）讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第31讲：三角函数公式（二） 【课型】复习课 【教学月标】1.学握两角和与差的三角函数公式 2.掌握二倍角公式及辅助角公式 【预习清单】 【基础知识梳理】 一. 两角和与差的三角函数公式及二倍角公式 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin(a+)=sinacosp-+cos asing (Sa+) sin(a-B)=sinacosp-cosasing (Sa-8) cos(a+)=cosacosp-sin asing (Ca+g)cos(a-B)=cos acos B+sin asin B (Ca-) tan(a+p)=tan a +tan B 1-tan a tan B (T+)tan(a-B)=tan a-tan B 1 +tan a tan B (Ta- 2.二倍角公式： sin 2a=2sin acos a: cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a;tan 2a=2tan a 1-tan2 a. 3.公式的逆向变换及有关变形： (1)sin acos a=12sin2a(2)降幂公式：sin2a=1-cos2a2,cos2a=1+cos22:(3)升幂公 式：1+cos2a=2c0s2a,1-cos2a=2sin2u:(4)1±s1n2a=(s1na士cosa)2 二.辅助角公式：asina+beosa=a2+b2sin(a+o),(其中cos=ar(a2+b2),sin中=b r(a2十b2),tan中=ba,中的终边所在象限由a、b的符号来确定) 【训练清单】 考向一：两角和与差的三角函数公式及二倍角公式 例1：(1)sin14°cos16°+sin76cos74°- (2)设a,B为钝角，且sina=5)5,cosB=-10)10,则cos(a+)= (3)设a、B都是锐角，且cosa=5)5,cos(a+)=35,求cosB= (4)已知sina=35,a∈(a2,元)，则cos2a24)= (5)函数f(x=2cosx+sinr的值域为 【解析】(1)原式=sin14°cos16°+sin(90°-14)cos(90°-16)=sin14°cos16°+cos14°sin16 =sin(14°+16)=sin30°=12.(2)因为a,B为钝角，sina=5)5,cosB=-10)10,所以cosa =-5)5,sinB=10)10,所以cos(a+)=cos acos B-sin asin B-=2)23)依题意得sina=1一 cos2a=5)5,sin(a+)=±1-sin2(a+)=±45.又a,均为锐角，所以sin(a十)=45.于是cos3 -cos[(a +B)-a ]=cos(a+p)cosa+sin(a+B)sina=35x 5)5+45.x 5)5= 11V5 。(4) 25 cos2a2)sin\b\lc\(rc\4))=cos2a-sin2a2)\b\Ici(rc)(als4allco1(f(r(2r(22)cosa)=cosa-sina, ,sina=35,a∈alvs4 alcol0f2),),∴.cosa=-45.∴.原式=-75。(5) f(x)=v5 sin(x+)E[5,5] 【训练清单】 【变式训练】(1)sin(54-x)cos(36°+)+cos(54°-x)sin(36°+x (2)sin15°=；cos105o= (3)tan(a+B)=25,tanlalvs4lallcol(B-y4))=14,tanlalvs4alcol(a +n 4))= (4)已知tana=-13,且-r2<a<0,则2sin2a+sin2arc4)= (5)函数fx)=3sinx2cosx2+4cos2x2cx∈R)的最大值等于 【解析】(1)原式=sinl(54"-x)+(36+x]=sin90°=1.(2)sinl5=sin(45°-30)=sn45°cos30°- cs45m30r-2x5.2x1V6.2 :cos105°=cos(60°+45)cos60°cos45°-sin60°sin45 2222 4 -1x2.5x互26 2×2224 。(3)tanlalvs.4 alcol(a+ftr4)=tan(a十B)-j blcl(re)(alvs4lallcol(B4)))=\rc\4))rc\4))=322.(4)'.'tan a =-13,.2 <a<0,.'.sin a=-10)10,2sin2 a +sin 2arc\4))=2sin a (sin a +cos a)\r(22=22sin a =22×1aws4aco1(-yfr10)10)=-5)5.(5)由题意知fx)=32sinx+4×1+cosx2=32sin x+2c0