第30讲：三角函数公式（一）讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第30讲：三角函数公式（一） 【课型】复习课 【教学日标】1.学握弧度制，了解扇形相关公式 2.掌握同角三角函数基本关系式及诱导公式 【预习清单】 【基础知识梳理】 一.弧度制及扇形问题 1.弧度制()定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角（按逆时针 旋转所成的角)的弧度数是正数，负角（按顺时针旋转所成的角）的弧度数是负数，零角（不 作旋转所成的角)的弧度数是零.角度与实数形成一一对应。 (2)角度制和弧度制的互化：180°=元rad,1°=π180rad,1rad=avs4 alcol/180)=57.30 2.扇形的相关问题 (1)弧长公式：1=ar:(2)扇形的面积公式：S=12r=121a2 (3)扇形周长公式C-2r+1:(4)弓形面积-扇形面积一三角形面积 二.同角三角函数基本关系式与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：sin2a十cos2a=1.(2)商数关系：ana=sin acos a. 2.诱导公式(1)a十2kk∈Z、一a、元一a、元十a、2π一a记忆口诀：函数名不变符号看象限 (2)x2士a、 3江±α记忆口诀：函数名改变符号看象限 【训练清单】 考向一：弧度制与扇形的相关问题 例1：(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是」 (2)扇形题长为20cm,中心角为100°，则该扇形的面积为 cm2 【解析】(1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确：又因为拨快 10分钟，故应转过的角为图周的16.即为一16X2π=一π3.(2)由弧长公式1=r,得= 20100x180=36π(cm),所以S扇形=121r=12×20×36π=360m(cm2). 考向二：同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用 例2：(1)若sina=一45且a是第四象限角，则cosa=,tana (2)已知tana=2,则3sma-2cosa3sna十2cosa= 3)sn☐x-aDcos☐2x-a0tan0-a十π0一tanD-a-元☐sin☐-π-a☐= (4)已知sinlalvs.4 alcol(fr n3)-a)=I2,则cosalvs4 alcol(f n6+a= 【解析】(1)(1).sna=-45且a是第四象限角..cosa=1-sin2a=1625)=35,tana =sin ac0sa=(-45)×(53)=-432)由tana=2得sina=2cosa,所以原式=6cosa 2cos a6cos a+2cos a=4cos a8cos a=12.(3)sin Ox-an cos 2x-an tan -+-tan 口-a-π0sin口-元-a0=sin acos al0-tana0 tan asin a=-cosa.(4),1 alvs4 alicollf(n 3)-a)+lalvs4allcolnf(n 6)+a)=n2,.'.coslalvs4alcolnfr n 6)+a)= cos\f(n're 3)-a ))=sinlalvs4lallcolof(n 3)-a)=12. 【训练清单】 【变式训练1】(1)3r5弧度化为角度是 (2)若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm,则扇形的面积为 【解析】(1)3m5=35×180°=108 (2),72°=2n5,.Sm形=12a12=12X2r5×202=80n(cm2). 【变式训练2】(I)已知tana=一4且a是第二象限角，则sina=_,cosa= (2)已知tan0=2,则sin20+sin acos0-2cos20=_ (3)化简rcrc2)-a)cos(r+a)+rc2)+a)sin(r+a)= (4)已知tanalvs4 alcol(n6)-a=33,则tanlalvs4 alcol(f56)r+a= 【解析】(1).'tana=-4,.sin a cos a=-4,即sin2acos2a=16,∴.sin2a=16cos2a 又，sin2a+cos2a=1,.17cos2a=1,cos2a=117.,a是第二象限角，∴c0sa0,.cosa= -17)17.sin a-0,sin a=1-cos2 a =17)17.(2)sin2 0+sin 0cos 0-2cos20=sin2 8+sin 8 cos 0-2cos2 8 sin2 0 +cos2 8=tan2 0+tan 8-2tan2 0+1=4+2-24+1= 45.(3)原式=cosa·sna-co3a+sima(一sina）-sina=-sina+sina=0.(4) .lals4allcol(f n 6)-a)+lalvs4allcol(f(5 n6)+a)=n,.'.tanlalvs4 lalco