第29讲：数列的求和方法讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第29讲：数列求和方法 【课型】复习课 【教学日标】1.理解并掌握等差、等比数列的前项和公式 2.会用分组求和法、裂项相消法、错位相减法求和 【预习清单】 【基础知识梳理】 一.基本数列求和的方法（公式法求和） 1.等差数列求和公式：Sn=n(al十am)2=2十n(n一1)2d, 2.等比数列求和公式：Sn=nal,q=1,al一angal(1一9n)1一q,q1 二.数列求和的几种常用方法 1分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解。 2裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求 得其和. 3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成 的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. 三.常用结论 1.一些常见数列的前n项和公式 (1)1+2+3+4+…+n=n(n+1)2. (2)1+3+5+7++(2n-1)=n2 (3)2+4+6+8+…+2n=n2+n 2.常用的裂项公式 (1)1n(n+1)=1n-ln+1 (2)1(2n-1)(2n+1)=12,aws4alco10f112n+1). (3)1r(+irtm+1)=n+1-n 【训练清单】 考向一：分组求和法 例1：已知{an}是等差数列，(b是等比数列，且b2=3,b3=9,a=b1,a14=b4, (1)求[a}的通项公式；(2)设cn=an十b,求数列{cn}的前n项和. 【解】(1)设等比数列{bJ的公比为q,则q=b3b2=93=3,所以b:=b2q=1,b=b3q=27, 所以bn=3-1(n=1,2,3,….设等差数列{aJ的公差为d因为a1=b=1,a14=b4=27,所 以1+13d=27,即d=2,所以an=2n-1(n=1,2,3,…).(2)由(1)知a=2n-1,b,=3m 1.因此cm=an十bn=2n-1十31.从而数列[cm}的前n项和Sm=1+3+…+(2n-1)+1十3 +…+3m-1=n1+2n-12+1-3n1-3=㎡+3n-12. 考向二：裂项相消求和法 例2：已知等差数列{a)中，2a2十a3十as=20,且前10项和S10=100. (1)求数列{anJ的通项公式：(2)若b,=1anan十1，求数列{bJ的前n项和 【解】(1)由已知得2a2+a3+a5=4a1+8d=20,10×92)d=10a1+45d=100,解得a1=1, d=2,)所以数列(a}的通项公式为a=1+2(n-1)=2n-1.(2)b,=12n-12n十1 =12\avs4a1\co1(f(112m+1),所以T.=12avs4\a1co1(1-f(111112n+1)=12 \avs4\al\co1(1-\f(12n+1))=n2m+1. 考向三：错位相诚求和法 例3：已知等差数列{anJ的前n项和S满足Ss=6,Ss=15. 1)求a的通项公式：②)设。女，求数列伍的前n项和1 【解】(1)设等差数列{anJ的公差为d,首项为a1.,S3=6,Ss=15,.3a1+1f(1212)×5× 5-1d=15,即a1+d=2,a1+2d=3,)解得a1=1,d=1.)∴.{anJ的通项公式为an= a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.(2)由(1)得bn=an2an=n2n,6分，.Tn=12+222+323+… +n-12n-1十n2m,①，①式两边同乘12，得12Tn=122+223+324+…+n-12n+n2n+ 1,②，①-②得12T.=12+122+123+…+12n-n2如+1=1rc\2m))12-n2m+1=1 12n-n2+1,.Tn=2-12m-1-n2m. 【训练清单】 【变式训练1】已知等差数列{am}的前n项和为Sn,且满足关于x的不等式ax2-Sx十2 <0的解集为(1,2). (1)求数列{a}的通项公式： (2)若数列bn}满足b,=a.+2-1，求数列拓}的前n项和Tm 【解】(1)设等差数列{an}的公差为d,因为关于x的不等式ar2一Sr+2<0的解集为(1,2)， 所以S2al=1+2=3,得a1=d,又易知2al=2,所以a=1,d=1. 所以数列{a}的通项公式为a,=n(2)由()可得，a=2n,2a,=2”.因为b,=a2n+2-1, 所以bn=2n-1+2”,所以数列bn}的前n项和Tm=(1十3+5+…+2n一1)十(2+22+23+… +2=n(1+2m-1)2+2(1-2m)1-2=n2+2"+1-2 【变式训练2】己知公差不为0的等差数列{a}的前n项和为S,且S4=26,a,a,am成 等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列f1Sm十n的前n项和为Ta,