第28讲：数列的通项公式求法讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第28讲：数列通项公式求法 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握等差数列、等比数列的通项公式的推导 2.掌握常见的数列通项公式的求法 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.数列通项的求法 (1)观察法：若给出了数列的前几项，可用观察法求通项公式. (2)公式法：若数列{a}是等差（比）数列，可代入通项公式求解. (3)根据递推公式求通项公式： ①累加法：已知a,且an+1一an=f(n)(f(n)可求和)，可用累加法 ②累积法：已知a,且an+lan=f(n)(f(n)可求积)，可用累积法 (4)利用Sn与an的关系：可根据an=S1,n=1,Sm一Sn-1,n≥2.)求通项公式 注意：应用an=Sn一Sn-1时常常忽略n≥2这个条件，只有当n=1时a=S.求 解后单独验证a1是否符合an=Sn一Sn-1,若符合an即为通项公式，否则要用分 段函数表示 【引导清单】 考向一：观察法求数列的通项公式（由数列的前几项求数列的通项公式） 例1：(1)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是 (2)数列{an的前4项是32,1,710,917，则这个数列的一个通项公式是an 【解析】(1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1=1,3=1+2,6=1十2+3， 10=1十2+3+4，… 第n项为1+2+3+4十…十n=n(n十1)2.所以an=n(n十1)2.(2)数列{an} 的前4项可变形为2×1+112+1,2×2+122+1,2×3+132十1,2×4+142+1， 故an=2n十1n2十1. 考向二：累加法求数列的通项 例2：(1)已知a1=1且an+1=an+2n+1,则数列{an}的通项公式aw= (2)在数列{an}中，a=1,an=n一1nan-1(n≥2)，则数列{am}的通项公式an= 【解】(1)an=n2(2)依题意得，Snm=3n-2,即Sn=32-2n.当n≥2时，an =Sn-Sn-1=(3m2-2m）-[3(m-1)2-2(n-1)]=6n-5:当n=1时，a1=S=3 ×12-2X1=1=6X1-5.所以an=6n-5(n∈N+).(2)因为am=n-1nam-1(n≥ 2),所以am-1=n一2n-1am-2,am-2=n-3n-2an-3,…,a2=12a1.以上(n-1)个 式子相乘得am=a1223n一1n=aln=ln.当n=1时，=1，上式也成立.所 以an=ln∈N+) 考向三：由a,与Sn的关系求通项公式 例3：(1)已知数列{an}的前n项和Sm=2n2-3n,则an= (2)已知数列{am}满足a1十2a2十3a3十…十nan=2m,则a= (3)设Sm为数列{an}的前n项和，若2Sm=3a,一3，则a,= 【解析】(1)a1=S1=2-3=-1,当n≥2时，am=S-Sm-1=(2m2-3m)-[2(n-1) 2-3(n一1)】=4n5,由于a4也适合此等式，所以am=4n一5.(2)当n=1时，由 已知，可得a1=2l=2,因为a1+2a2十3a3+…+nan=2",①故a1+2a2+3a3+ 十(n-1)an-1=2m-1(n≥2)，②由①-②，得nan=2m-2m-1=2n-1,所以an= 2n-1n(n≥2). 显然当n=1时不满足上式，所以an=2,n=1,2n一1n,n22.(3)根据2Sm=3am一3， 可得2Su+1=3au+1一3，两式相减得2au+1=3an+1一3an,即am+1=3an,当n=1 时，2S1=3a1一3，解得a=3,所以数列{am}是以3为首项，3为公比的等比数 列，所以an=3n 【训练清单】 【变式训练1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,…:(2)12,14,-58,1316,-2932,6164,… 【解析】(1)数列中各项的符号可通过（一1）”表示，从第2项起，每一项的绝对值 总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为am=(一1y"(6n一5).(2)各项的分母 分别为21,22,23,2，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小 3.原数列化为一21-321,22-322，-23-323,24-324，…，故am=(一1) m2n-32n. 【变式训练2】(1)在数列{an}中，若a=2,au+1=an+2"-l,则an= (2)若am=1,na-1=(n十1)an≥2)，则数列{an的通项公式an= 【解析】（1）a=2,an+1=an十2r-1→an+1-an=2m-1→an=(an一an-i）十(an 1-a-2)+…十(a3-a2)十(a2-a1)十a1,则an=2m-2+2m-3+…+2+1十a1=1 2n-11-2+2=2m-1+1.（2)由nam-1