第25讲：等差数列的概念公式与性质讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第25讲：等差数列的概念公式与性质 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握等差数列的概念、公式与性质 2.能利用等差数列的公式与性质处理解决简单的问题 【预习清单】 【基础知识梳理】 等差数列的定义： 1.文字语言：一般地，一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同 一个常数，那么这个数列就叫作等差数列.这个常数叫作等差数列的公差，通常 用字母d表示。 2.符号语言：an+1一an=d(n∈N+,d为常数). 二.等差数列的通项公式与前n项和公式 1.通项公式：an=a十(n-1)d. 2.前n项和公式：Sn=na1十n(n-1)2d=n(al+an)2. 三.等差数列的性质：已知数列{a}是等差数列，Sn是其前n项和. l.通项公式的推广：an=a十（n一md(,m∈N+). 2.若m十n=ptq=2r(m,,D,q,r∈N+），则aa十an=ao十aa=2ar 3.数列Sm,S2m一Sa,S3m一S2m,…构成等差数列. 4.等差中项：若三个数a,A,b组成等差数列，则A叫作a,b的等差中项，且 A=0+b 2 四.常用结论 1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n,则S侧一S奋=nd,S奇S偶=anan十1： ②若项数为2n一1，则S隅=(n一1)an,S奇=na,S奇一S阀=a,S奇S偶=nn-1, 3.两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为S2一1T2m一1=anbn. 【引导清单】 考向一：等差数列基本量的计算 例1：(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3十a6=23,Ss=35,则{an}的 公差为 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+Ss=2,S7=14,则ao= (3)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=一2，a2十a6=2,则So 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得a1+2d+a1+5d=23,5× 42)d=35,解得a1=1,d=3.)(2)设等差数列{an}的公差为d,由a1+3d+5al +1f(5×427×62)d=14,可得6a1+13d=2,a1+3d=2,)解得a1=-4,d=2,) 所以a1o=一4+9×2=14.(3)通解：设等差数列{an}的公差为d,则由a2十a6=2, 得a1+d+a1+5d=2,即-4+6d=2,解得d=1,所以So=10×(-2)+10×92 ×1=25.优解：设等差数列{an}的公差为d,因为a2十a6=2a4=2,所以a4=1, 所以d=a4-a14-1=1-(-2)3=1,所以S1o=10×(-2)+10×92×1=25. 考向二：等差数列性质的应用 例2：(1)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且ae十a6十a1o+a13=32.若a =8,则m= (2)等差数列{an}中，3(a3十as)+2(a7十a1o十a13)=24,则该数列前13项的和 是= (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7十ag十ag 【解析】(1)由等差数列性质，知a3十a6十ao十a3=(ag十a3)十(a6十ao)=2ag +2ag=4ag=32,.ag=8.∴.m=8.(2).3(ag+a5)+2(a7+a1o十a13)=24, .6a4+6a1o=24,.a4+a1o=4∴.S1s=13(a1+a13)2=13(a4+a10)2=13× 42=26(3)由等差数列的性质，知S3,S6一S3,Sg一S6成等差数列，∴.2(S6一S) =S3+(Sg-S6),.a7+ag+ag=Sg-S6=2(S6-S)-S3=45. 【训练清单】 【变式训练1】(1)已知等差数列{an},其中a1=13,a2十as=4,an=33,则n 的值为 (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2=一8，Sg=一9，则S6= (3)若Sn是等差数列{an}的前n项和，a1≠0，a2=3a1,则S10S5= 【解析】(1)在等差数列{a}中，a2十as=2a1+5d=23十5d=4,所以d=23,又 an=13十23(n-1)=33,解得n=50.(2)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由已知，得a12=a1+11d=-8,9d×82)=-9,解得a1=3d=-1),.S16= 16×3+16×152×(一1)=一72.(3)因为数列{an}是等差数列，且a2=3a1,所 以公差d=a2-a1=2a1,故S10S5=10a1+45d5a1+10d=4. 【变式训练2】(1)在等差数列{an}中，a15=33,a2s=66,则a4s= (2)在等差数列{an}中，若as十a4十as十a6十a7=25,则a2十ag= (3)已知等差数列{an}的前n