21.1一元二次方程(讲+练，8题型)-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

21.1一元二次方程 一元二次方程的有关概念 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 注意： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 题型1：一元二次方程的识别 1.下列方程中，一元二次方程的个数为（　　） （1） ；（2） ；（3） ；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列方程中，是一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 【变式1-2】在下列方程 ， ， ， ， ， 中，其中一元二次方程的个数有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 题型2：一元二次方程定义与字母的值 2.若关于x的方程（m+2）x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝　 　. 【变式2-1】若方程是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知一元二次方程（m－2）＋3x－4＝0，那么m的值是　 　． 一元二次方程的一般形式： 　　一般地，任何一个关于的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 注意： 　　（1）只有当时，方程才是一元二次方程； 　　（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 题型3：一元二次方程的一般形式 3.一元二次方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）． A．2，0，3 B．2，1，3 C．2，0，－3 D．2，1，－3 【变式3-1】写一个一元二次方程： ，使其满足：二次项系数为2，且两根分别是2，-3. 【变式3-2】已知关于x的一元二次方程m(x－1)2＝－3x2＋x的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m的值为多少？ 一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 题型4：一元二次方程的解-求字母的值 4.关于x的一元二次方程 的一个根是3，则m的值是（　　） A．3 B． C．9 D． 【变式4-1】关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D． 【变式4-2】如果x＝1是关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，那么m＝　 　； 题型5：一元二次方程的解-求代数式的值 5.若关于的一元二次方程为有一个根为，那么的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式5-1】已知m是关于x的方程的一个根，则 ． 【变式5-2】已知 是方程 的一个根，求代数式 的值． 一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 题型6：必有一根问题（赋值法） 6.若 ，则关于x的方程 必有一根是（　　） A．1 B． C．0 D．-1 【变式6-1】若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若一元二次方程ax2+bx+c=0中，4a﹣2b+c=0．则此方程必有一根为　 　． 知识储备：长方形面积=长×宽（ab）；正方形面积=边长×边长（a2）三角形面积=底×高÷2（ah）；圆的面积=πr2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2=[h(a+b)] 列方程小技巧：用含未知数的式子分别表示求面积的必要边长，再根据题意套公式，列方程即可。 题型7：列一元二次方程-面积问题 7.有一个三角形，面积为30cm2，其中一边比这边上的高的4倍少1cm，若设这边上的高为xcm，请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程？若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 【变式7-1】如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求的面积． 【变式7-2】《生物多样性公