1.1.2空间向量的数量积运算8题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2空间向量的数量积运算8题型分类 一、空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向． 二、空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质：①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 注意：向量的数量积运算不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的． 思考　对于向量 a，b，若a·b＝k，能否写成a＝？ 答案　不能，向量没有除法． 三、向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． （一） 数量积的计算 1、空间向量夹角定义的三个关注点 (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样． (2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉． 2、空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 3、求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 4、在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉. 题型1：空间向量数量积概念辨析 1-1．（2023·高二课时练习）已知是空间向量，根据下列各条件分别求： (1)； (2)； (3)； (4). 1-2．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 1-3．（2023·江苏·高二专题练习）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 1-4．（2023春·高二课时练习）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2：空间向量数量积的计算 2-1．（2023秋·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）如图，面，为矩形，连接､､､､，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2-2．（2023·江苏·高二专题练习）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2-3．（2023秋·陕西西安·高二西安市远东一中校考期末）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为棱的中点，则 ． 2-4．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1) (2) (3) 2-5．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是 ． 2-6．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 2-7．（2023·高二课时练习）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（    ）