1.2 常用逻辑用语（课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

第1章 集合与逻辑 沪教版（2020）必修第一册 1.2常用逻辑用语 学习任务 1 2 3 理解命题的概念并能判断所给语句是否为命题, 并判断真假. 理解并掌握充分条件、必要条件的意义，能够利用充分条件、必要条件的意义进行判定与证明. 理解会并用反证法. 1 新课导入 新课导入 早在战国时期，《墨经》中就有这样的一段话：有之则必然，无之则未必不然，是为大故。无之则必不然，有之则未必然，是为小故。 如今，在日常生活中，常听人说：这充分说明，没有这个必要等，在数学中，也会讲到充分和必要，这节课，我们就来学习一下。 2 知识梳理 命题 (1)定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断 的 叫做命题. (2)分类:判断为 的陈述语句是真命题; 判断为 的陈述语句是假命题. (3)结构形式:“若,则”形式的命题中, 称为命题的条件, 称为命题的结论. 真假 陈述句 真 假 推出关系 如果命题“若,则”是 ,那么我们就称α推出β,记作α⇒β（或β. 真命题 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性： 若α⇒β，β⇒则α⇒. 充分条件和必要条件 对于两个陈述句α与β，如果α⇒β，就称是 条件,或称是 条件. 充分 必要 α⇒β可以表达成以下5种说法: (1)“若α,则β”为真命题; (2)α是β的充分条件; (3)β是α的必要条件; (4)β的充分条件是α; (5)α的必要条件是β. 充要条件 对于两个陈述句α与β，如果α⇒β，又有β⇒α，我们就称α是β的充分必要条件，简称充要条件，记作α⇔β. 读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”。 反证法 《世说新语》记载：王戎7岁，尝与诸小儿游，看道边李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动.人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必苦李”，取之，信然. 王戎的推理方法：假设“李子甜”则树在道旁，则李子必被人摘走，与“树在道旁而多子”矛盾，所以假设不成立，所以必是“苦李”. 生活中类似的推理应用无处不在，数学中也有类似的推理. 判断命题“若α，则β”是假命题，只要存在一个满足条件α的但不满足β的对象就行了. 但是要判断命题“若α，则β”是真命题，就需要证明所有满足条件α的对象都满足结论β.但有时直接验证这一点并不是意见容易的事. 反证法 反证法：对于命题“若α，则β”，首先假设结论β不成立（β为假）然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【步骤】①假设结论反面成立，即假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确. 【矛盾来源】①与原命题的条件矛盾； ②导出与假设相矛盾的命题； ③导出一个恒假命题. 反证法 3 题型总结 题型一 命题、命题的真假 【例1】下列语句哪些是命题，如果是命题，请判断真假，并说明理由. （1）个位数字是5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）请起立； （4）若两个角互为补角，则这两个角不相等； （5）若两个三角形的三组对应边相等，则这两个三角形全等； （6）你是高一学生吗？ √ √ √ √ 真命题 真命题 假命题 假命题 题型二 推出关系 【例2】将下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断“α”是否成立. （1）等腰三角形的两底角相等； （2）凡是素数都是奇数； （3）对顶角相等. 解：（1）若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等。 这是一个真命题，在初中已经学过，所以“α”成立。 （2）若n是素数，则n是奇数。这是一个假命题，因为2是素数， 但它是偶数，所以“α”不成立。 （3）若两个角是对顶角，则这两个角相等，这是一个真命题，出中国学习过证明，所以所以“α”成立 题型三 充分条件、必要条件、充要条件 【例3】 下列各题中,判断α是β的什么条件. (1)α:△ABC是直角三角形,β:△ABC是等腰三角形; (2)α:(a-2)(a-3)=0,β:a=3; (3)α:|x|=|y|,β:x=y. 题型三 充分条件、必要条件、充要条件 【例3】 下列各题中,判断α是β的什么条件. (1)α:△ABC是直角三角形,β:△ABC是等腰三角形; (2)α:(a-2)(a-3)=0,β:a=3; (3)α:|x|=|y|,β:x=y. (2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,α是β的必要不充分条件. 题型三 充分条件、必要条件、充要条件 【例3