专题6 特殊平行四边形【四大压轴题型归纳】2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳

2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳 专题6 特殊平行四边形【四大压轴题型归纳】 思维导图： 类型一、存在性问题 1．已知：如图，正方形的边长为1，动点、分别在边、对角线上（点与点、都不重合）且 （1）设，，求：与的函数关系式，并写出定义域； （2）求证：； （3）是否存在以线段、、的长为边的直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，正方形中，是上一点，的延长线交于，交的延长线于，是的中点． （1）求证：①；②． （2）试问当等于多少度时，为等腰三角形？请说明理由． 3．如图，正方形的边在正方形的边上，连接、． （1）观察猜想与之间的大小关系，并证明你的结论； （2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由． 4．如图，在正方形中，点在边上，射线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）过点作，交于点，求证：； （3）设，，试问是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，是正方形的边上的动点，是边延长线上的一点，且，，设，． （1）当是等边三角形时，求的长； （2）求与的函数解析式，并写出它的定义域； （3）把沿着直线翻折，点落在点处，试探索：△能否为等腰三角形？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 类型二、动态几何 6．如图，在中，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，将沿翻折，点的对应点为点．设点运动的时间为秒，若四边形为菱形，则的值为　　 A． B．2 C． D．3 7．如图，已知矩形，，，是上一动点，、、分别是、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请直接写出当为何值时，四边形是菱形； （3）四边形有可能是矩形吗？若有可能，求出的长；若不可能，请说明理由． 8．如图，正方形的边长为2，将长为2的线段的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到止，在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为 　　． 9．如图，点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，为中点． （1）如图1，当点在线段上时，试猜想与的数量关系和位置关系，不用说明理由； （2）如图2，当点在线段上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由； （3）如图3，当点在的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 10．如图甲，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．解答下列问题： （1）如果，， ①当点在线段上时（与点不重合），如图乙，线段、之间的位置关系为 　　，数量关系为 　　． ②当点在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果，点在线段上运动．试探究：当满足一个什么条件时，（点、重合除外）？并说明理由． 类型三、情景探究题 11．小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考，这个定理的逆命题成立吗？猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”． 通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程： 已知：如图1，在中，是边的中点，连接，且． 求证：为直角三角形． 证明：由条件可知，，则，． 又， ，即为直角三角形． 爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图2，图3两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整： 证法一：如图2，延长至点，使，连接，． 证法二：如图3，分别取，边的中点，，连接，，，则，，为的中位线． 12．阅读与思考 请阅读下列材料，完成相应的任务． 年月日星期日 只用卷尺也能判断矩形 今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？已知在四边形中，，，． 求证：四边形是矩形． 证明：． 任务：（1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理：　　； （2）补全材料中的证明过程； （3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（写出简要的测量方法） 13．数学课堂上，徐老师出示一道试题： 如图1所示，在正三角形中，是边（不含端点、上任意一点，是延长线上一点，是的平分线上一点．若，求证：． （1）经过思考，小