第3章复数知识点清单-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

新教材 湘教版2019版 数学必修第二册 第3章 知识点清单 目录 第3章　复数 3. 1　复数的概念 3. 2　复数的四则运算 3. 3　复数的几何表示 3. 4　复数的三角表示 2 / 2 第3章　复数 3. 1　复数的概念 一、复数的有关概念及表示 1. 复数：我们把形如a+bi(其中a，b∈R)的数称为复数，通常用字母z表示， 即z=a+bi(a，b∈R)，其中a称为复数a+bi的实部， 记作Re z，b称为复数a+bi的虚部，记作Im z，i称为虚数单位. 2. 复数集 (1)定义：全体复数组成的集合称为复数集. (2)表示：复数集通常用大写字母C表示，即集合C={a+bi|a，b∈R}. 二、复数的分类 1. 复数z=a+bi(a，b∈R) 2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示：   三、两个复数相等 1. 若两个复数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等，即a+bi=c+di⇔a=c且b=d. 2. 特别地，a+bi=0⇔a=0且b=0. 3. 需要注意的是，两个实数可以比较大小，但当两个复数不全是实数时，它们之间不 能比较大小，只能说相等或不相等. 四、对复数概念的理解 1. 设复数z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则 (1)当且仅当b=0时，z为实数； (2)当且仅当a=b=0时，z为实数0； (3)当b≠0时，z为虚数； (4)当a=0且b≠0时，z为纯虚数； (5)当a≠0且b≠0时，z为非纯虚数. 2. 对于复数z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)，既要从整体的角度去认识它，又要从实部与虚部的角度把复数z分解成两部分去认识它，即用两个实数认识一个复数. 将复 数问题转化为两个实数(实部、虚部)问题是解决复数问题的基本方法. 3. 2　复数的四则运算 一、复数的加减法 1. 复数的加、减法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 2. 复数加法的运算律 对任意复数z1，z2，z3，有 (1)交换律：z1+z2=z2+z1； (2)结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 二、复数的乘法与乘方 1. 复数的乘法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 2. 复数乘法的运算律 对任何复数z1，z2，z3，有 (1)交换律：z1·z2=z2·z1； (2)结合律：(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3)； (3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 3. 复数乘方的运算律 对任何复数z，z1，z2及正整数m，n，有 (1)zm·zn=zm+n； (2)(zm)n=zmn； (3)(z1·z2)n=·. 规定i0=1. 4. 虚数单位i的幂的周期性 i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1，其中n∈Z. 三、复数的除法 1. 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R，且c+di≠0)，则==+i. 2. 一般地， 称为z的倒数，若z=a+bi≠0，则=-i. 四、复数的加、减运算 1. 复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项. 2. 复数的加法满足交换律和结合律，利用复数加法的运算律可以简化计算. 五、复数的乘、除运算 1. 复数乘、除运算的策略 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘与分母的虚部互为相反数的复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2. 复数代数运算中的常用结论 (1)(1±i)2=±2i， =i， =-i. (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R). (3)设ω1=，ω2=，则ω1，ω2具有如下关系： ①==1； ②1+ω1+ω2=0； ③ω1ω2=1. (4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈Z). 六、复数范围内一元二次方程根的问题 1. 复数范围内实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式： (1)当Δ≥0时，x=； (2)当Δ<0时，x=. 2. 如果实系数一元二次方程有虚根，那么虚根“成对”出现，它们的实部相等，虚部互为相反数. 3. 根与系数的关系在复数范围内仍然成立. 3. 3　复数的几何表示 一、复数的几何意义 1. 复平面 与全体复数建立一一对应关