第1章 平面向量及其应用知识点清单-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

新教材 湘教版2019版 数学必修第二册 第1章 知识点清单 目录 第1章　平面向量及其应用 1. 1　向量 1. 2　向量的加法 1. 3　向量的数乘 1. 4　向量的分解与坐标表示 1. 5　向量的数量积 1. 6　解三角形 1. 7　平面向量的应用举例 2 / 2 第1章　平面向量及其应用 1. 1　向量 一、向量的物理背景 1. 位移是物理学中的基本量之一，也是几何研究的重要对象. 研究物体运动时，通常 把物体当作一个质点，用点来表示物体的位置. 质点从位置A运动到位置B，位置的 改变称为位移. 2. 理解位移，要把握三个方面： ①位移由方向和大小唯一确定； ②位移只与质点的起点、终点位置相关，而与实际运动路线无关； ③两个位移相等指的是方向相同而且大小相等. 3. 物理学中许多需要考虑大小和方向的量，如速度、加速度、力等. 二、向量的基本要素及几何表示 1. 有向线段 像这样具有方向的线段，称为有向线段，有向线段的长度记作||. 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2. 向量 像位移这样既有大小又有方向的量，在数学中称为向量. 向量的几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的方向和长度分别代表了向量的方向和大小. 向量的字母表示：向量用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示，如向量a，b，F， ， ， . 3. 向量的模 向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a|. 2 / 2 三、向量的相等 1. 相等向量：我们把方向相同、长度相等的向量称为相等向量. 2. 相反向量：我们把长度相等、方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b=-a. 如果b=-a，则同样也有a=-b. 3. 零向量：如果向量a的大小|a|=0，就称a是零向量，记作0. 我们约定，所有的零向量相等，且零向量的方向是任意的. 四、向量相等及其应用 1. 向量相等具有传递性，即a=b，b=c，则a=c. 2. 相等向量与向量的起点、终点无关，只看长度和方向. 3. 在几何图形中寻找相等向量的方法，先找出与表示已知向量的有向线段平行或在同一直线上且长度与已知向量长度相等的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 1. 2　向量的加法 一、向量的加法 1. 三角形法则 向量的加法法则 文字语言 已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点O，分别作=a， =b， 则定义从O到B的向量为a，b 的和，记作a+b. 即a+b=+= 向量的加法法则 图形表示 特殊情形(a与b的方向相同或相反) 向量的加法 求向量和的运算称为向量的加法. 两个向量的和仍是一个向量 向量加法的三角形法则 将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作 向量加法的三角形法则 2. 平行四边形法则 条件 对于方向既不相同也不相反的非零向量a，b，可用平行四边形法则求和 文字 语言 从同一点O出发作有向线段=a， =b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线就是a与b的和，即=a+b 图形 表示 3. 加法运算律 (1)加法交换律：a+b=b+a对任意两个向量a，b成立. (2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)对任意三个向量a，b，c成立. 4. 零向量的加法性质 任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身，即a+0=0+a=a. 如果两个向量之和为0，即a+b=0，则a与b大小相等，方向相反，即b是a的相反向量，记作b=-a. 当然a也是b的相反向量，因此a=-b=-(-a). 5. n个向量相加 如图所示，在n边形A1A2…An中，有++…+=， 则++…++=0. 二、向量的减法 1. 向量减法的定义 已知两个向量a，b，求x满足a+x=b，这样的运算叫作向量的减法，记为x=b-a， x称为b与a之差. 2. 向量的减法法则 减去一个向量a，等于加上它的相反向量-a，即b-a=b+(-a). 已知向量a与b，在平面上任取一点O，作=a， =b，则=b-a， 即b-a表示从向量a的终点指向向量b的终点的向量. 三、向量的加减法运算及其应用 1. 利用已知向量表示其他向量的思路 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加、减法法则和相等向量的定义，同时注意向量的方向及运算式中向量之间的关系. 当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法. 任意一个非零向量一定可以表示为两个向量的和(差)，即=+， =- (M，N均是同一平面内的任意点). 四、向量形式的三角不等式 (1)当向量a，b方向既不相同也不相反时，作=a