专题17 数列综合题-备战2024年天津高考数学真题模拟题分类汇编

专题17 数列综合题 1．（2023·天津·统考高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)已知为等比数列，对于任意，若，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及其前项和． 2．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 3．（2021·天津·统考高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记； （i）证明是等比数列； （ii）证明. 4．（2020·天津·统考高考真题）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 5．（2023·天津·统考一模）已知数列中，，，，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，设，求证：. 6．（2023·天津和平·统考一模）已知数列为首项的等比数列，且成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前项和为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)数列满足，记和分别为和的前项和，证明：. 7．（2023·天津·统考一模）在公差不为零的等差数列和等比数列中，为的前项和.已知，且是与的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求； (3)求. 8．（2023·天津红桥·统考一模）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)记，求数列的前项和. 9．（2023·天津南开·统考一模）已知等差数列的首项为1，前项和为，单调递增的等比数列的首项为2，且满足. (1)求和的通项公式； (2)证明：； (3)记的前项和为，证明：. 10．（2023·天津·大港一中校联考一模）已知正项数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求的取值范围； （3）若，从数列中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列. 11．（2023·天津河东·一模）设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，． (1)求数列与的通项公式； (2)的前项和为，求证：； (3)求． 12．（2023·天津·校联考一模）已知数列满足，其前8项的和为64；数列是公比大于0的等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，，求数列的前项和； (3)记，求． 13．（2023·天津·校联考一模）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前项和为，求证：对任意的，都有. 14．（2023·天津河北·统考一模）设等比数列的前项和为，，若，且、、成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，，其中表示不超过的最大整数，求数列的前项的和； (3)设，，求数列的前项和. 15．（2023·天津河西·统考一模）数列是公差为的等差数列，其前项的和为，数列是等比数列，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的通项公式； (3)求． 16．（2023·天津·一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（n，Sn）在函数y＝2x+1﹣2的图象上． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足：b1＝0，bn+1+bn＝an，求数列{bn}的前n项和公式； （3）在第（2）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式bn＜λbn+1恒成立，求实数λ的取值范围． 17．（2023·天津和平·耀华中学校考一模）设数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)求； (3)若，抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n项和为，求证：当n为奇数时，. 18．（2023·天津·校联考一模）已知数列满足，，其中. (1)设，求证：数列是等差数列. (2)在（1）的条件下，求数列的前n项和. (3)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 19．（2023·天津·统考二模）已知为等差数列，数列满足，且，，. (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)设的前项和为，证明：. 20．（2023·天津和平·统考二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)求 (3)求． 21．（2023·天津河北·统考二模）已知数列的前n项和为，满足： (1)求证：