3.2.2 双曲线的简单几何性质-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第三章圆锥曲线的方程 随堂检测·学以致用 答案见P L.“ab<0”是“方程a.x十by2=c表示双曲线”的 F,F2,点M在双曲线上，且MF⊥x轴，求点 F到直线F,M的距离. A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2方程千m产1表示双自线则m的取值 范围是 A.(-2,2) B.(0,+∞) C.[0,+o∞) D.(-o∞，-2]U[2,+o∞) 3.(选)如果在双曲线中，a=5,c=7,那么该双 曲线的标准方程为 ( A员芳-1 c盖云 4已知双商线若一苦-1的左，右焦点分别为 -3 提示完成Pm课时作业（二十六） 3.2.2 双曲线的简单几何性质 第一课时双曲线的简单几何性质 [学习目标]1.掌握双曲线的简单几何性质，培养数学运算的核心素养（重点），2.理解双曲线离心率的定义、取 值范国和渐近线方程，提升直观想象的被心素养（难点）. 必备知识·基础落实 答案见P 要点一 双曲线的性质 (续表) 范围 标准方程 到 总-希 对称性 对称轴：坐标轴：对称中心：原点 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 顶点坐标 A(-a,0),A(a,0) A(0,-a),A(0,a) 渐近线 y±分 图形 离心率 ,e∈(1，十∞) a,b,c间的关系 (c>a>0,c>b>0) ·87· 数学选择性必修第一册课堂学案 >思考：如何用a,b表示双曲线的离心率？ 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 双曲线芳=1与芳 =1(a>0,b 0)的形状相同. () 要点二 等轴双曲线 实轴和虚轴 的双曲线，它的渐近线方 2)双曲线三一 =1与yx 7a-存=1(a>0,b> 程是 0)的渐近线相同。 >思考：等轴双曲线的离心率为何值？ (3)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围 相同。 () (4)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实 轴及虚轴的交点. ( 关键能力素养提升 答案见P型 探究一 由双曲线方程研究其几何性质 【变式1】求双曲线9.x2一16y2+144=0的实半轴 长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方 规律总结 程，并画出这个双曲线的草图。 由双曲线的方程研究几何性质：(1)把双曲线 方程化为标准形式是解决此类题的关键： (2)由标准方程确定焦，点位置，确定a,b的 值：(3)由2=a2十求出c的值，从而写出 双曲线的几何性质 【例题1】求双曲线4.x2-y2=4的顶点坐标、焦点 坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线 方程，并作出草图. 探究二由双曲线的几何性质求标准方程 解题技巧 (1)由双曲线的几何性质求双曲线的方程的 常用方法 一是设法确定基本量a,b,c,从而求出双曲线 方程；二是采用待定系数法，首先依据焦点的 位置设出标准方程的形式，再由题目条件确 定参数的值，当焦点位置不确定时，方程可能 有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏 解，为了避免讨论，也可设方程为m2一y 1(mm>0),从而直接求解. 88 第三章圆锥曲线的方程 【变式2】求适合下列条件的双曲线的标准方程. (2)常见双曲线方程的设法 ①渐近线为y=士”x的双曲线方程可设为 1)焦点在x轴上，虚轴长为8离心率为 y2 m n =λ（≠0，m>0,n>0):如果两条渐近 2)过点(2,0，与双曲线荒-若-1的离心 线的方程为Ax士By=0,那么双曲线的方程 率相等。 可设为Ax2一By=m(m≠0，A0,B>0). ②与双曲线后-芳=1或号- =1(a>0, a >0)共渐近线的双曲线方程可设为号- =入 号-a≠0. ③与双曲线5-￥=1(a>0,b>0)离心率相 等的双向线方程可设为后一芳 =1(入>0)或 =(入>0)，这是因为离心率不能确定 焦点位置 【例题2】求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两 顶点和中心四等分： (2)焦点在x轴上，离心率为2，且过点(5,4). 探究三求离心率 规律总结 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a,c,则直接利用e=二得解. (2)若已知a6,可直接利用e一√1+（白）得解 (3)若得到的是关于a,c的齐次方程p2十 gac十ru2=0(p,q,r为常数，且p≠0).则转 化为关于e的方程pe2十ge十r=0求解. 89 数学选择性必修第一册课堂学案 【例题3】设双曲线导一芳 =1(0<a<b)的焦距 【变式3】已知双曲线C:号-y=1o>0)的右焦 为2c,直线l过(a,0),(0,b)两点，且原点到 点为F,点A(0,一a),若双曲线的左支上存 直线1的距离为.则双曲线的离心率为 在一点P,使得|PA+|PF=7,则双曲线C 的离心率的取值范围是 ( B.(1,3 A.2 A(1, C.4 D.[3,+o