3.1.1 椭圆及其标准方程-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第三章圆锥曲线的方程 第三章 圆锥曲线的方程 3.1椭 圆 3.1.1椭圆及其标准方程 [学习目标]1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，培养数学 抽象的核心素养，2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌提椭圆的定义，标准方程，提升直观想象和数学运 算的核心素养（重点） 必备知识·基础落实 答案见P型 要点一椭圆的定义 >思考：椭圆标准方程的特征是什么？ L,定义：平面内与两个定点F,F的距离的和等 于（大于FF)的点的轨迹 2.焦点：两个定点F,F 3.焦距：两焦点间的距离FF, 4.几何表示：|MF|+|MF2|= (常数)且 2aFF. >思考：定义中，将“大于|FF|”改为“等于 FFz”或“小于|F:F2|”的常数，其他条件不 变，点的轨迹是什么？ 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (1)已知点F1(-1,0),F(1,0),动点P满足 PF+PF2|=4,则点P的轨迹是椭圆. 要点二 椭圆的标准方程 (2)已知点F(一1,0)，F(1,0),动点P满足 焦点在x轴上 焦点在y轴上 PF|+PF|=2,则点P的轨迹是椭圆 x () 标准 方程 (3)已知点F,(0,一1)，F(0,1),动点P满足 (a>b>0) (a>b>0) PF|十PF2|=1,则点P的轨迹是椭圆. 焦点 () a.b.c (4)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不 的关系 同，但都满足a2=b2十c2. () ·75· 数学选择性必修第一册课堂学案 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 椭圆定义在焦点三角形中的应用 探究二 求椭圆的标准方程 规律总结 规律总结 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的 确定椭圆标准方程的方法 焦点三角形引出的问题很多，解决这些题目 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在 时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆的 中心为原，点的前提下，确定焦点位于哪条坐 定义，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公 标轴上，以判断方程的形式 式之间的联系建立三角形中的边角之间的关 (2)“定量”是指确定，b的具体数值，常根 系.在解题中，经常把PF|·|PF2|看作一 据条件列方程求解 个整体来处理 【例题2】求适合下列条件的椭圆的标准方程. 【例题1】已知P为椭圆十芳-1上一点，F, (1)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和 F是椭圆的焦点，∠FPF=6O°，求△FPF的 点(0,1)： (2)椭圆的焦点在y轴上，与y轴的一个交点 面积 为P(0,一10)，且点P到离它较近的一个焦点 的距离为2. 【变式1】若将本例中“∠FPF2=60”变为 “∠PFF2=90”,求△FPF2的面积 76 第三章圆雏曲线的方程 【变式2】求适合下列条件的椭圆的标准方程. 【例题3】如图，P为圆B:(x十2)2+y2=36上一 ①)经过两点2，-②).(-1，)： 动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直 平分线交BP于点Q,求点Q的轨迹方程. (2过点3，-5，且与椭圆芳+后=1有 相同的焦点. 【变式3】已知在R△ABC中，∠CAB=90°，|AB= 2,AC=三，曲线E过点C,动点P在曲线E 探究三 与椭圆有关的轨迹问题 上运动，且|PA|十PB是定值.建立适当的 平面直角坐标系，求曲线E的方程 解题技巧 求轨迹方程的常用方法 444444 (1)直接法：设出曲线上动点的坐标为(x,y) 后，可根据几何条件直接转换成x和y之间 的关系式 (2)定义法：若动点运动的几何条件满足某种 已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹 方程. (3)相关点法（代入法）：有些问题中的动，点轨 迹是由另一动点按照某种规律运动而形成 的，只需把所求动点的坐标“转移”到另一个 动点在运动中所遵循的条件中去即可. ·77· 数学选择性必修第一册课堂学案 随堂检测·学以致用 答案见Pm 1.已知椭圆后十y=1上一点P到一个焦点的 3.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两 距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 焦点的距离之和为8，焦距为2√15，则此椭圆 ( 的标准方程为 A.5 B.6 C.7 D.8 4.一动圆与圆x2十y2+6.x十5=0外切，同时与 2若方程千。十亡=1表示椭圆，则k的取值 圆x2十y2一6.x一91=0内切，则动圆圆心的轨 范围为 ( 迹方程为 A.(5,6) B.(6,7) C.(5,6)U(6,7) D.(5,7) 提示完成P课时作业（二十三） 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第一课时椭圆的简单几何性质 [学习目标]1.掌握椭圆的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养（重点）.2.能根据几何条件求出椭圆方程， 利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形，提升数学运算和直观想象