第1章 空间向量与立体几何 章末复习方案-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章空间向量与立体几何 章未复习方案 知识网络·融会贯通 ““4““““4“““““““““。”4“● ◆“““4”小4“““““4““44“小4…“4““ 线线半和亚宜 止明 线血平行和诉白 究刊阿计的定义妆其表示 空 间 空向向最与立 体儿何 平 而而半行和垂直 如诚，数乘和数量运绎 向录 线 的 方的 异面直线所成角 共线问址、共血忭 线向角 向量运算的坐献表小 运算 几何 的向量方法 计算 两平面的夹布 点线和点向脚 线恤听利面面听 知识整合·要点突破 答案见P 探究一 利用空间向量证明线、面的位置关系 【真题1】在直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC= 用空间向量判断空间中线、面位置关系的探究 90°，BC=2,CC=4,点E B 与方法总结： 在线段BB1上，且EB,=1, (1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两 D,F,G分别为CC1,C1B1, 条直线的方向向量是共线向量。 CA,的中点. (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两 (1)求证：BD⊥平面ABD: 条直线的方向向量垂直. (2)求证：平面EGF∥平 (3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主 面ABD. 要有①证明直线的方向向量与平面的法向量 垂直：②证明可在平面内找到一个向量与直线 的方向向量是共线向量. (4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主 要有①证明直线的方向向量与平面的法向量 平行：②利用线面垂直的判定定理转化为线线 垂直问题 (5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行 (即是共线向量)：②转化为线面平行、线线平 行问题。 (6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相 垂直：②转化为线面垂直、线线垂直问题. ·35· 数学选择性必修第一册课堂学案 探究二利用空间向量求解距离和空间角 探究三用空间向量解决折叠问题 距离和空间角的求解可以通过几何方法得到， 折叠问题是指把一个平面图形沿一条直线折 但对考生的空间想象能力、推理论证能力有较 起使之成为空间图形的一类问题，这类问题对 高的要求，使用空间向量方法可以减少作图， 解题者的空间想象能力有较高要求，折叠问题 只要建立合理的空间直角坐标系，把所求的距 是一个重要的命题点. 离和角转化为向量之间的问题求解即可.高考 【真题3】如图1，在平面四边形PBCD中，已知 试题中的立体几何解答题往往是分步设问，其 BC⊥PB,PD⊥CD,PB=6,BC=2,DP 中空间距离的求解部分几何的方法和空间向 2CD,DA⊥PB于点A.将△PAD沿AD折 量方法都可能考查，具体看哪种方法使解题更 起使得PA⊥平面ABCD,如图2，设MD= 简便，而空间角求解部分侧重考查空间向量 APD(0≤1≤1). 方法。 【真题2】(2022·新高考I)如图，直三棱柱ABC A:BC的体积为4，△ABC的面积为2v2. (1)求A到平面A,BC的距离： (2)设D为A,C的中点，AA,=AB,平面 图1 图2 ABC⊥平面ABBA1,求二面角A-BD-C 若X-号求证：PB/平面MAC, 的正弦值。 (2)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值 为求入的值。 36 第一章空间向量与立体几何 探究四用空间向量解决探索性问题 【真题5】(2021·全国甲)已知直三棱柱ABC- 探索性问题对解题者分析问题、解决问题的能 A,BC中，侧面AABB为正方形，AB= 力有较高要求，在立体儿何的解答题中探索性 BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点，D为 问题是一个重要的考点. 棱AB上的点，BF⊥AB 【真题4】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD1 平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD, AB=1,AD=2,AC=CD=√5. (1)证明：BF⊥DE; (2)当BD为何值时，平面BBCC与平面 (I)求证：PD⊥平面PAB: DFE所成的二面角的正弦值最小？ (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值： (3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平 面PCD? 若存在，求兴的值：若不存在，说 明理由. 提示完成P第一章综合测评 ·37则A(0.0,0),S0.0.1).C11,0),D(2.0.0） [真题2]解析(1)在直三棱柱ABC-A1BC1中，设点A到平 面ABC的距离为h, 所以si=(号0，-1），S0=(11,-10. 期-号5a·h-2=4w-专5· 设平面SCD的法向量为n=(x,y,), n…SD=0,号 AA=合V鸟5=青，解得h=巨，所以点A到手面 则 0所以交x一=0·所以I=2, n.sC=0 x十y-=0, y=- A1BC的距离为2. 令=1，得n=(2,-1,1). (2)取AB的中点E,连接AE,如图，因为AA=AB,所以 AE⊥AB. 因为A市-（号，0.0）是平面