1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章空间向量与立体几何 随堂检测·学以致用 答案见P 1.若直线4,2的方向向量分别为a=(1,2,一2)， (3)直线1的方向向量，平面α的法向量分别是 b=(-2,3,2),则 a=(1,-4,-3),=(2,0,3). A.1∥ B.lh⊥l2 C.l,相交但不垂直D.不能确定 2.已知平面a的法向量为a=(1,2,-2),平面3 的法向量为b=(一2，一4，k),若a⊥3，则k= A.4 B.-4 C.5 D.-5 3.已知直线【与平面α垂直，直线1的一个方向 向量u=(1,-3,),向量v=(3,一2,1)与平 面a平行，则x 4.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平 面与平面、直线与平面的位置关系。 (1)直线4，lg的方向向量分别是a=(1,一3， -1),b=(8,2,2): (2)平面a,3的法向量分别是4=(1,3,0)，= (-3,-9,0)； 提示完成P:课时作业（八） 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时用空间向量研究距离问题 [学习目标]1.能用向量方法解决点到直线，点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，培养逻 辑推理和直观想象的核心素养（重难点）.2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的 作用，提升数学运算的核心素养。 必备知识·基础落实 答案见P6 要点一点到直线的距离 要点二点到平面的距离 如图，已知直线1的单位方向向量为“，A是直 如图，已知平面a的法向量为n,A是平面a内 线1上的定点，P是直线I外一点，设向量 的定点，P是平面a外一点.过点P作平面a AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量 的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线I的方向 AQ=(a·),则点P到直线l的距离PQ= 向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线I上 的投影向量QP的长度.因此PQ- ·29· 数学选择性必修第一册课堂学案 辨析 面的距离就是直线到平面的距离. () 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (3)两个平面平行时，一个平面上任意一点到 (1)直线外一点到直线的距离就是该点到直线 另外一个平面的距离都相等。 () 上任意一点的距离 (4)任意一条直线与任意一个平面都有距离. (2)直线和平面平行时，直线上任意一点到平 () 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 点到直线的距离 【变式1】已知三棱柱ABC-A,B,C的所有棱长 均为2，求点B到直线A:C的距离. 答题模板 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系： (2)求直线的方向向量： (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向 量在直线的方向向量上的投影： (4)利用勾股定理求，点到直线的距离」 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线 的距离之间的转化 【例题1】在正方体ABCD-A:BCD中，E,F 分别是C1C,DA的中点，求点A到直线EF 的距离。 探究二 点到平面的距离 答题模板 用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系： (2)求出该平面的一个法向量； (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线 段对应的向量： (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝 对值再除以法向量的模，即为点到平面的 距离 ·30 第一章空间向量与立体几何 【例题2】已知正四棱柱ABCD-A1B,CD,中， 探究三线面距和面面距 AB=1,AA1=2,点E为CC1的中点，求点 D,到平面BDE的距离. 规律总结 (1)求平行于平面的直线到平面的距离可以 转化为求直线上任意一点到平面的距离，利 用求点到平面的距离的方法求解即可， (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求 点到平面的距离，利用求，点到平面的距离的 方法求解即可 【例题3】在棱长为a的正方体ABCD-ABCD 中，E,F分别是BB,CC的中点. (1)求证：DA∥平面AEFD: 【变式2】如图所示的多面体是由底面为长方形 (2)求直线AD到平面A,EFD,的距离， ABCD的长方体被平面AEC,F所截得到的， 其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (1)求BF的长： (2)求点C到平面AEC,F的距离. 444+444444444+年年444年4444444年年4444444年44444444444 【变式3】已知正方体ABCD-ABCD,的棱长 为1，求平面ABD与平面B:CD,间的距离. 31 数学选择性必修第一册课堂学案 随堂检测·学以致用 答案见P L.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A 到直线BC的距离为 ( A2号 B.1 C.2 D.22 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满 足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的 A.1 距离是 ( ) A