1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章空间向量与立体几何 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示 空间中直线、平面的平行 [学习目标]1，能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量，培养数学抽象的核心素 养，2.会求直线的方向向量与平面的法向量，强化数学运算的核心素养（重点），3.能用向量语言表述直线与直 线、直线与平面、平面与平面的平行关系，提升数学抽象的核心素养，4.能用向量方法判断或证明直线、平面间 的平行关系，提升逻辑推理和直观想象的核心素养（难点）.5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位 置关系的判断，提升逻辑推理和直观想象的核心素养。 必备知识·基础落实 答案见P 要点一空间中点、直线和平面的向量表示 此可知，空间中任意平面由 1.空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取 唯一确定。 一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就 4.平面的法向量：如图，若直线⊥《，取直线1的 可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点 方向向量a,我们称向量a为平面a的 P的位置向量. :给定一个点A和一个向量a,那么 的平面完全确定，可以表 示为集合 0 2.空间中直线的向量表示式：如图，a是直线1的 方向向量，点A和点P为直线1上的点，在直 线l上取AB=a,取定空间中的任意一点O,可 >思考：直线的方向向量和平面的法向量是不是 以得到点P在直线！上的充要条件是存在实 唯一的？ 数t,使OP=OA+a①，将AB=a代入①式 得O币-OA+1AB②，①式和②式都称为空 间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直 线由 唯一确定 要点二空间中直线、平面的平行 1.线线平行的向量表示：设4，分别是直线1， 12的方向向量，则l∥2台 3空间平面的向量表示式：取定空间任意一点O,可 以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条 2.线面平行的向量表示：设u是直线1的方向向 件是存在实数x,y,使 ③.我 量，n是平面a的法向量，l￠a,则l∥a台 们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由 ·23· 数学选择性必修第一册课堂学案 3.面面平行的向量表示：设n1,n2分别是平面a,3 (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行. 的法向量，则a∥3= () 辨析 (3)若两个平面平行，则这两个平面的法向量 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 平行 () (1)若两条直线平行，则它们方向向量的方向 (4)若向量a是直线1的一个方向向量，则向量 相同或相反 k如也是直线！的一个方向向量 () 关键能力·素养提升 答案见Pe 探究一 求平面的法向量 【变式1】已知点A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1, 0),求平面ABC的一个法向量. 解题技巧 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n=(x,y,x). (2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量 AB.AC n·AB=0, (3)列方程组：由 n·AC=0 列出方程组， n·AB=0, (4)解方程组： In.AC=0. (5)赋非零值：取x,y,z其中一个为非零值 (常取士1). (6)得结论：得到平面的一个法向量」 【例题1】如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面 是直角梯形，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥底 面ABCD,且SA=AB=BC-1,AD=2,建立 适当的空间直角坐标系，分别求平面SDC与 平面SAB的一个法向量， 探究二 直线和直线平行 答题模板 证明空间两直线平行的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点 的坐标，得到对应直线的方向向量： (2)证明两向量共线： (3)说明其中一个向量所在直线上的一点不 在另一个向量所在的直线上，即可得证， 24 第一章空间向量与立体几何 【例题2】如图所示，在正方体 【例题3】在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD ABCD-ABCD中，PQ与 是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD,PD= 直线AD和AC都垂直.求 DC,E是PC的中点.求证：PA∥平面EDB 证：PQ∥BD. 【变式2】在正方体ABCD-ABCD中，E为AA 的中点，F为CC的中点.求证：BF∥DE 【变式3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平 面ABCD,PB与底面所成的角为45°，底面 ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°， PA=BC=2AD=1,问在棱PD上是否存在 一点E,使CE∥平面PAB?若存在，求出点 E的位置：若不存在，请说明理由 探究三利用空间向量证明线面平行 规律总结 利用向量法证明线面平行的三个思路 (1)设直线1的方向向量是a,平面α的法向量 是u,要证明l∥a,只需证明a⊥，即a·1=0. 求解法向量时，赋值与运