1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学选择性必修第一册课堂学案 随堂检测·学以致用 答案见P 1.点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在 3.设{e,e2,e}是空间向量的一个单位正交基 底，如果a=4e1-8e+3e,b=-2e1-3e2+ A.y轴上 7e,那么a,b的坐标分别为 B.坐标平面Oxy上 4.在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PB⊥平 面ABC,AB=BC=PB=1,M,N分别是PC, C.坐标平面Okx上 AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyg,则 D.坐标平面Oy上 向量MN的坐标为 2.在空间直角坐标系中，点P(一1,2,3)关于坐 标平面Oxy对称的点的坐标是 A.(1,-2,-3) B.(-1.2.-3) C.(1,-2,3) D.(-1.-2,3) 提示完成P课时作业（五） 1.3.2空间向量运算的坐标表示 [学习目标]1.掌摄空间向量运算的坐标表示，培养数学抽象的核心素养（重点）.2.掌握空间向量平行与垂直 几何计算的坐标表示，强化数学运算的核心素养（难点）.3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题，提升 逻辑推理的核心素养（重点） 必备知识·基础落实 答案见P 要点一 空间向量的坐标运算 a⊥b=→a·b=0=ab1+a2b2+asb3=0: 设a=(a1,a2,a3),b=(b,b,b),则有 a=√a·a=Va+ai+a; a·b a1b+a2b十asb 向量运算 向量表示 坐标表示 cos(a,b)=- a b √a+a西+a运√+仿+ 加法 a+b a+b= 2.空间两点间的距离公式 减法 a-b a-b= 设P(州，等)，P(必。)是空间中任意两点，则 数乘 a ,A∈R PP-PP|=√m一n+(-}+(Y. 数量积 a·b a·b= 辨析 由表可知空间向量运算的坐标表示与平面向 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 量运算的坐标表示是完全一致的.例如，一个 (1)若A(1,1,0),B(2,3,1),则AB=(-1, 空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段 -2,-1). () 的终点坐标减去起点坐标. (2)四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与 >练习：已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),则a+ DC的坐标相同. () 2b= ,3a·(-b)= (3)对于空间任意两个向量a=(a1,a2,as), 要点二空间向量的平行、垂直、模及夹角 b=,,若a与b共线，则哈=会=器 1.设a=(a1,a2,as),b=(h1,b,b),则有 () 当b≠0时，a∥ba=b台a=b,a=b,a= (4)设a=(1,2,-1),b=(0,m,2),若a⊥b,则 Ab(A∈R): m=1. () ·20· 第一章空间向量与立体几何 关键能力~素养提升 答案见P 探究一 空间向量的坐标运算 A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 解题技巧 空间向量的坐标运算的解题思路及技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向 量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧： (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a十 b)·(a-b)=a2-b=|a2-|b2,(a+b)· 探究二 坐标形式下向量的平行与垂直问题 (a十b)=(a十b)2等. (2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再 答题模板 运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标 判断空间向量垂直或平行的步骤 运算，如计算(a十b)·(a一b),既可以先求出 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向 a十b,a一b,然后求数量积，也可以把(a十b)· 量的垂直与平行： (a一b)写成a2-b后计算. (2)向量关系代数化：写出向量的坐标： (3)向量的数量积运算一般有两种解题思路： (3)对于a=(x,y,1),b=(,2,),根 一是先求坐标，再运算：二是先类比多项式进 据12十y1y2十心12是否等于0，判断两向 行化简，再代入坐标求解.解题时应恰当选择 量是否垂直；根据=入x,y1=入y,2=1 解題方法。 (a∈R)或-边-(x2为，a都不为0)判 2222 【例题1】已知a=(1,2,3),b=(-2,-1,2),计 断两向量是否平行， 算下列各式的值 【例题2】如图，已知正方形 (1)a+2b:(2)a·b:(3)cosa,b):(4)a-b. ABCD和矩形ACEF所在 的平面互相垂直，AB V2,AF=1,M是线段 EF的中点 求证：(1)AM∥平面BDE: (2)AM⊥平面BDF 4+4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444 【变式1】已知a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c (-号1，-).给出下列式子：①(a+b)· c=a