1.3.1 空间直角坐标系-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章空间向量与立体几何 随堂检测~学以致用 答案见P 1.在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与 4.在空间四边形OABC中，OB=OC,∠AOB= CD ∠AOC-,求证：OA LBC. A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断位置关系 2.已知a,b是异面直线，点A,B∈a,点C,D∈b, AC⊥a,BD⊥a,且AB=1,CD=2,则a,b所 成的角为 A.30 B.45 C.60 D.135 3.在三棱柱ABC-A1BC中，AA⊥平面ABC, AA:=AB=AC=BC=1,M是B,C的中点， 则AM= 捉示完成P课时作业（四） 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 [学习目标]1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空 问直角坐标系刻画点的位置，培养直观想象的核心素养（重点）.2.掌握空间向量的正交分解的坐标表示，提升 直观想象的核心素养. 必备知识·基础落实 答案见P 要点一 空间直角坐标系 >思考：空间直角坐标系的三个要素是什么？空 间直角坐标系有什么作用？ 1.概念：在空间选定一点O和一个 基底 {i,j,k.以点O为原点，分别以i,j,k的方向 为 、以它们的长为 建立三条 数轴：x轴、y轴、之轴，它们都叫做 .这时 就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做 要点二 空间向量的坐标表示 ,i,j广，k都叫做 ,通过 L.点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxy中，i, 每两个坐标轴的平面叫做 ,分别称为 j,k为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个 Oxy平面，Oyx平面，Oz.x平面，它们把空间分 向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定， 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 成八个部分 (x,y,),使OA=i十可十k.在单位正交基 2.右手直角坐标系的概念：在空间直角坐标系 底{i,j,k}下与向量OA对应的 中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记 轴的正方向，如果中指指向x轴的正方向，则 作 ,其中 叫做点A的横坐 称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的 桥 叫做点A的纵坐标， 坐标系都是右手直角坐标系 叫做点A的竖坐标 ·17 数学选择性必修第一册课堂学案 2.向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中， 一定是(0，b,c)的形式. () 给定向量a,作OA=a.由空间向量基本定理，存 (2)空间直角坐标系中，在坐标平面Oxx内的 在唯一的有序实数组(x,y,),使a=i十十 点的坐标一定是(a,0,0)的形式 () 水.有序实数组 叫做a在空间直角坐 (3)关于坐标平面Oy?对称的点其横坐标、纵 标系Oxy烂中的坐标，上式可简记作 坐标保持不变，竖坐标相反 () 辨析 (4)若点A的坐标为(x,y,),则OA=(x,y,). 判断正误，正确的画“/”，错误的画“X” (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标 () 关键能力素养提升 答案见P四 探究一 求点的坐标 【变式1】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为 4,侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标 规律总结 系，写出各顶点的坐标. 求空间一点P的坐标常用的两个方法：一是 利用点在坐标轴上的投影求解：二是利用单 位正交基底表示向量OP,OP的坐标就是点 P的坐标。 【例题1】长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽，高 分别为AB=8,AD=3,AA'=5.建立适当的 空间直角坐标系，并求顶点A,B,C,D,A', B,C,D的坐标 探究二求向量的坐标 答题模板 用坐标表示空间向量的一般步骤 (1)观察图形：观察图形特征，寻找两两垂直 的三条直线： (2)找垂直：找出（或作出）两两垂直的三条直 线和相应的单位向量作为基底： (3)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐 标系； (4)进行计算：综合利用空间向量的线性运算： (5)确定结果：确定目标向量的坐标 18 第一章空间向量与立体几何 【例题2】已知ABCD-A,BC,D1是棱长为2的 探究三 空间中的对称问题 正方体，E,F分别为BB,和DC的中点，建立 如图所示的空间直角坐标系，试写出DB 解题技巧 DE,DF的坐标 空间中点的对称问题的解题策略 (1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐 标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化 规律，才能准确求解。 (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保 持不变，其余坐标相反”这个结论.如，点(x,y, z)关于y轴的对称点为（一x,y,一），关于坐 标平面Oy的对称点为（一x,y,). 【例题3】在空间直角坐标系中，已知点P(一2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标： (2)求点P关于坐标平面Qy对称的点的坐标