1.1.2 空间向量的数量积运算-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学选择性必修第一册课堂学案 随堂检测·学以致用 答案见Ps 1.(选)下列命题中，正确的是 ( 3.下列条件中，使M与A,B,C一定共面的是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能 比较大小 A.OM=20A-0B-0C B.若向量a,b平行，则a,b所在的直线平行 B.OV-10A+20B+700 C.只有零向量的模等于0 C.MA+MB+MC=0 D.相等向量其方向必相同 D.OM+OA+OB+OC=0 2.已知空间向量a,b互为相反向量，且|b=3, 4.如图，在直三棱柱ABC-A:BC 则下列结论正确的是 中，若Ci=a.C=b.CC=,则 A.a=b B.a十b为实数0 AiB- (用a,b,c表示) C.a与b方向相同 D.|a=3 提示完成Pm课时作业（一） 1.1.2空间向量的数量积运算 [学习目标]1.掌握空问向量的数量积，发展数学抽象的核心素养（重点）.2.了解空问向量投影的概念以及投 影向量的意义，增强数学抽象和直观想象的核心素养，3.数量积在空间中的简单应用，提升逻辑推理与数学运 算的核心素养（重难点） 必备知识·基础落实 。。。 答案见P 要点一 空间向量的夹角 要点二 空间向量的数量积 1.定义 1.定义 如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点 已知两个非零向量a,b,则 叫 0,作OA=a,OB=b,则 叫做向量a,b 做a,b的数量积，记作a·b,即a·b= 的夹角，记作 2.性质 (1)若a,b是非零向量，则ab台 =0. 0 (2)若a与b同向，则a·b=a·b;若反向， 2.向量a,b的夹角(a,b)的范围是 如 则a·b=一a·b.特别地，a·a= 果(a,b)=受，那么称向量a,b互相 =va.a. 记作 a·b >思考：当(a,b》=0和(a,b》=π时，向量a与b (3)cos(a.b) 有什么关系？ (4)a·b1≤a·b. 3.运算律 (1)(a)·b= (2)交换律：a·b= (3)分配律：(a十b)·c= 第一章空间向量与立体几何 >思考：数量积的运算满足结合律吗？ AB的夹角就是向量a所在直线与平面3所 成的角 要点三向量a的投影和投影向量 (2 1.如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于 辨析 它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同 判断正误，正确的画“√/”，错误的画“×”， 一个平面α内，进而利用平面上向量的投影， (1)向量AB与CD的夹角等于向量AB与DC的 得到与向量b共线的向量c,c=acos(a,b)· 夹角： () ,向量c称为 b 在 上的 (2)若向量AB与CD的夹角为a,则直线AB与 CD所成的角也为a. () 2.如图(2)，向量a向平面3投影，就是分别由向 (3)对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c). 量a的起点A和终点B作平面3的垂线，垂足 () 分别为A',B,得到向量AB,向量AB称为 (4)对任意向量a,b,满足a·b≤ab. 向量a在平面3上的投影向量.这时，向量a, () 关键能力~素养提升 。答案见P 探究一 数量积的计算 (2)NP.AB: (3)0B.AC: 规律总结 (4)O元.Mp (1)已知a,b的模及a与b的夹角，直接代入 数量积公式计算. (2)如果要求的是关于a与b的多项式形式 的数量积，可以先利用数量积的运算律多项 式展开，再利用a·a=|a2及数量积公式进 行计算 【例题1】已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是 等边三角形，且边长为2，点M,N,P分别为 AB,BC,CA的中点.试求： (1)0A.Oi: 数学选择性必修第一册课堂学案 【变式1】如图，在单位正方体ABCD-A'B'CD 【例题2】(1)在正方体ABCD-A,BCD,中，向量 中，设AB=a,AD=b,AA'=c,求： AB与CB的夹角(AB,CB)= 向量 AB与BD,的夹角(AB,BD) (2)如图，已知线段AB在平面a内，线段ACL a,线段BD⊥AB,线段DD⊥a于点D'.如果 ∠DBD'=30°，AB=a,AC=BD=b,则CD (1)a·(b+c): 的长为 (2)(a+b)·(b十c): (3)(a+b+c)·(a+b+c). 【变式2】(1)已知a,b是异面直线，A,B∈a,C, D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a 与b所成的角为 () A.30° B.45° C.60 D.90° 探究二 用数量积求角和距离 (2)已知在平行六面体ABCD-A1BCD 中，AA1=AB=AD=1,且这三条棱彼此之间 规律总结 的夹角都是60°，则AC的长为 A.6 B.√ (1)找两向量的夹角的关键是把两向量平移到 一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解 C.3 D.3 三角形求角，注意向