1.1.1 空间向量及其线性运算-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 [学习目标]L,经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，培养数学抽象的核心素养（重 点).2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，培养逻辑推理的核心素养，3.掌握空间向量的 线性运算，培养数学运算和直观想象的核心素养（重点），4.理解并会应用空间向量共线、共面的充要条件，增强 逻辑推理、数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养（难点）， 必备知识·基础落实 答案见Ps 要点一空间向量的有关概念 >练习：（多选）下列命题为真命题的是(） 1.定义：在空间，具有 和 的量 A.空间向量AB与BA的长度相等 叫做空间向量. B.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 2.长度或模：向量的 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 3.表示方法 D.零向量与任意向量平行 (1)几何表示法：空间向量用 表示： 要点二空间向量的线性运算 (2)字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量 a的起点是A,终点是B,也可记作AB,其模记 1.定义 为 或 如图，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算： 4.特殊的空间向量 (1)a+b=OA+AB=OB: 名称 定义及表示 (2)a-b=0A-O元-CA: 零向量 规定 的向量叫做零向量，记为0 (3)当1>0时，a=1OA=PQ:当<0时. 单位向量 的向量叫做单位向量 a=1OA-MN:当1=0时，a=0. 与向量a长度 而方向 相反向量 的向量，叫做a的相反向量，记为一a 如果表示若干空间向量的有向线段所在 的直线 ,那么这些向量 2.运算律（其中入，u∈R) 共线向量 叫做共线向量或平行向量，规定：零向量 与任意向量 ,即对于任意向量 (1)交换律：a+b= a,都有0 (2)结合律：(a十b)十c= ,a(a)= 方向 且模 的向量称为 相等向量 相等向量.在空间， 且 (3)分配律：（入十）a= ,λ(a+b)= 的有向线段表示同一向量或相等向量 第一章空间向量与立体几何 >思考：空间向量的加、减法与平面向量的加、减 OA所在的直线OA平行于平面a或在平面c 法是否相同？平面向量加、减法的运算律在空 内，那么称向量a 平面a. 间向量中还适用吗？ 3.共面向量： 同一个平面的向量，叫做 共面向量 4.空间向量共面的充要条件：如果两个向量α，b不 共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是 存在唯一的有序实数对(x,y),使 要点三空间中的共线向量 >思考：若向量p,a,b满足p=aa十b,那么向 1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向 量p,a,b共面吗？ 量a,b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数入， 使 2.方向向量：如图，O是直线 上一点，在直线1上取非零 向量a,则对于直线l上任 辨析 意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 要条件可知，存在实数 ,使得 (1)零向量没有方向. ( OP= ,我们把与向量a 的 (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量. 非零向量称为直线（的 () 要点四空间中的共面向量 (3)空间向量的数乘运算中，入只决定向量的大 1.向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段 小，不决定向量的方向。 () OA所在的直线OA与直线( ,那么称 (4)若a=一b,则a=|b. 向量a平行于直线l. (5)若两个向量的起点重合，则这两个向量的 2.向量和平面平行：如果表示向量a的有向线段 方向相同 () 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 空间向量的概念 A.两个空间向量相等，则它们的起点相同，终 点也相同 误区防错 B.若空间向量a,b满足a=|b,则a=b C.在正方体ABCD-A,BCD中，必有AC 解答空间向量有关概念问题的注意点 A,C (1)空间向量的两大要素：大小和方向，两向 D.空间中任意两个单位向量必相等 量相等的充要条件：大小相等，方向相同. (2)两个特殊向量 ①零向量：长度为0的向量，方向任意： ②单位向量：长度为1的向量，方向不确定 (3)空间向量不能比较大小，但空间向量的模可 【变式1】判断下列命题是否正确，若不正确，请 以比较大小 简述理由. 【例题1】（多选）下列命题中，不正确的命题是 (1)向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D 四点必在一条直线上： 数学选择性必修第一册课堂学案 (2)若向量AB,CD满足|AB1>|CD1,则 (2)(AB+AC-AD). AB>CD: (3)任一向量与它的相反向量不相等； (4)四边形ABCD为平行四边形的充要条件 是AB=D心C 探究二 空间向量的线性运算 【变式2】（多选）在正方体ABCD-A,BCD,中， 下列各式