4.2指数函数 同步练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2指数函数 一、单选题 1．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围是（　　） A．[0，1） B．[1，2） C．[1，+∞） D．（2，+∞） 2．设集合，则的元素个数为（　　） A．3 B．4 C．9 D．无穷多个 3． 已知函数（e为自然对数的底数），则（　　） A． B．，当时， C． D．，当时， 4．若，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 5．函数的大致图象为（　　） A． B． C． D． 6．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 7．已知(，且)，且，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a<1 B．a>1 C．a<1 D．a>0 8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t分钟后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有一个的物体，放在的空气中冷却，2分钟后物体的温度是，那么4分钟后该物体的温度是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．若函数(且)的图像经过第一、二、三象限，则（　　） A． B． C． D． 10．已知函数 ， 且 的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．设集合 ，下列集合中，是 的子集的是（　　） A． B． C． D． 12．关于函数，下列结论中正确的是（　　） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，是奇函数 D．若的定义域为，则 三、填空题 13．若函数（，且）的图象经过点，则　 　. 14．无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，该定点坐标为　 　. 15．已知a是正实数，若，则a的取值范围是　 　． 16．已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则在上的最大值为　 　. 四、解答题 17．已知函数的图象经过点． （1）求实数b； （2）若，求x的取值集合． 18．已知定义在上的函数为奇函数. （1）求的值，试判断的单调性，并用定义证明； （2）若，求的取值范围. 19．已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若存在正实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 20．某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．每毫升血液中的药物含量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数（，，k，a是常数）的图象，且，． （1）写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式； （2）据测定：每毫升血液中药物含量不少于1μg时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？ （3）若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h，该人每毫升血液中药物含量为多少μg（精确到0.1μg）？ 参考答案 1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B,C 10．C,D 11．A,C,D 12．A,C,D 13．2 14． 15． 16．-6 17．（1）解：函数经过点，则（）， 所以． （2）解：因为，所以函数在上为减函数， 又因为，所以，即，解得或， 所以的取值集合为． 18．（1）解：因为函数为上的奇函数，则，即， 即，解得， 所以，，则函数为上的减函数，证明如下： 任取、且，则， 所以，， 则，所以，函数为上的减函数； （2）解：由且函数为上的减函数， 则，解得， 因此，满足不等式的的取值范围是. 19．（1）解：函数为偶函数，理由如下： 由题知函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数. （2）解：因为，， 所以，当时，， 设，则， 所以， 所以，即， 所以，函数在上单调递增， 因为在正实数且，使得在区间上的值域为， 所以，即方程有两个不相等的正实数根， 所以，方程有两个不相等的正实数根， 令， 所以，方程有两个均大于且不相等的正实数根， 所以，两个均大于且不相等的正实数根， 令， 所以，两个均大于且不相等的零点， 所以，，即，解得， 所以，实数的取值范围是 20．（1）解：当时，； 当时，把，代入（，，k，a是常数）， 得，解得，故. （2）解：设第一次注射药物后最迟过t小时注射第二次药物，其中． 则，解得， 即第一次注射药物5h后开始第二次注射药物，即最迟13点注射药物． （3）解：第二次注射药物1.5h后， 每毫升血液中第一次注射药物的含量， 每毫升血液中第二次注射药物的含量， 所以此时两次注射药物后的药物含量为． 故该人每毫升血液中药物含量为6.4μg． $$