1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 核心素养 思维脉络 能用向量方法解决点到 直线、点到平面、互相 点到直线的距离两平行直线的距离 平行的直线、互相平行 空间距 离问题 点到平面的距离 两平行平面的距离 的平面的距离问题.（直 观想象、数学运算) 核心素养 思维脉络 1.理解两异面直线所成角与 它们的方向向量之间的关系， 会用向量方法求两异面直线 所成角。 2.理解直线与平面所成角与 两异面直线所成角 直线方向向量和平面法向量 利用向量求空间角 直线与平面所成角 夹角之间的关系，会用向量方 两个平面的夹角 法求直线与平面所成角. 3.理解二面角大小与两个面 法向量夹角之间的关系，会用 向量方法求二面角的大小 探究 已知直线的单位方向向量为4，A是直线上的定点，P是直线外一点 如何利用这些条件求点P到直线的距离。 如图1.4-16，向量AP在直线l上的投影向量为AQ, 则△APQ是直角三角形： 因为A,P都是定点， 所以AP,AP与a的夹角∠PAQ都是确定的. 于是可求A@.再利用勾股定理，可以求出点P到直线的距离PO. 设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·w)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 Pe-VA-1o-Va'-(a.i 跟进训练， 1.在长方体OABC-OAB1C中，OA=2,AB=3,AA1=2,求 O1到直线AC的距离. 01 Ci 解]法一：建立如图所示的空间直角坐标系， B 则A(2,0,0),O1(0,0,2)C(0,3,0) B 过O1作O1DAC于点D, 设Dx,y,0),AD=(x-2,y,0),OD=(x,y,-2) -2x+3y=0, :衣=-23061花.而花二子号 =8 解得 3 12 p长0o=V8i+g+-2r-2 13 b= 13 即0，到直线4AC的距离为2286 13 法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),O1(0,0,2),C(0,3,0) ∴.Aò1=(-2,0,2)，AC=(-2,3,0), B ∴401AC=(-2,0,2)(-2,3,0)=4, ∴4ò在心方向上的投影为：4心= nci V13 政c离加- 13 思考 类出点到彭线的距离的球求法如可球两降平行线必间的距离？ 平面a外一点P到平面a的距离问题. 如图1.4-17，已知平面a的法向量为n, A是平面o内的定点，P是平面a外一点. 过点P作平面α的垂线l,交平面a于点Q, 则n是直线的方向向量， 且点P到平面的距离就是AP在直线！上的投影向量OP的长度 AP AP 因此 例6如图1.4-18，在棱长为1的正方体ABCD-A1B,C,D,中，E为线段A,B, 的中点，F为线段AB的中点， (1)求点B到直线AC,的距离； (2)求直线FC到平面AEC,的距离. 以D为原点，DA,D,C,D,D所在直线分别为 B x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-18所示的空间 直角坐标系，则A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1), C.(.L0E1z0F1j1 图1.4-18 微顶-lG-亚-gG-好 -(F-( 3 则a=1,au= 3 (1)取a=AB=(0,1,0),4= -1,1,-10 AC, 所以点到直线1C的矩高为-6可-小6 (a因为FC=EC-（所以rCC,所以FCI平面4EC, 所以点F到平面AEC,的距离即为直线FC到平面AEC,的距离. 设平面AEC,的法向量为n=(x,y,z), n.A正=0 2y-=0 x=7 则 → nEC; 0x+2y=0 y=23 取z=1,则x=1,y=2. 所以，n=(1,2,1)是平面AEC的一个法向量. 亚a（g26 所以点F到平面AEC,的距离为 /6 与用平面向量解缺平面矶何问题的三步曲？类拟 我们可得出用空间向量解决立体机几何问题的三步曲？： 1)建拉立图形间向量的系用盥间向量示问题 中涉及的点、线平面把立体机几何问题转为向量的题； 。)通过向量运算疣点彭线平面必间的位置关系以及 它门之间的距离夹等舸题； 6)把向量运的结果翻译'成湘应的机几何结论