1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题 探究 已知直线的单位方向向量为山，A是直线上的定点，P是直线外一点 如何利用这些条件求点P到直线的距离： 如图1.4-16，向量AP在直线l上的投影向量为AQ, 则△APQ是直角三角形 因为A,P都是定点， 所以AP,AP与i的夹角∠PAQ都是确定的. 于是可求A@.再利用勾股定理，可以求出点P到直线的距离PQ, 设AP=a,则向量AP在直线I上的投影向量AQ=(a·)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ-VAP-40-Va'-(@.i 跟进训练 1.在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2,AB=3,AA1=2,求 O1到直线AC的距离. 01 [解]法一：建立如图所示的空间直角坐标系， B 则A(2,0,0),O1(0,0,2),C(0,3,0), 过O1作ODAC于点D, B 设Dx,y,0),AD=(x-2,y,0),OD=(x,y,一2)， -2x+3y=0, :花=-2301花.少花青 =18 解得 Y- 12 00V+ +(-2=2286 13' 即O,到直线AC的距离为 法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),O1(0,0,2), C(0,3,0) ∴A01=(-2,0,2).A元=(-2,3,0) B ∴4ò1AC=(-2,0,2)(-2,3,0)=4, 40在心方向上的投影为0：正=4 nc V13 熟通cor-之经 13 思考 类牡点到慬线距离的求法如向球两降平行彭线间的 距璃？ 平面u外一点P到平面α的距离问题， 如图1.4-17，已知平面a的法向量为n, A是平面内的定点，P是平面a外一点. 过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q, 则n是直线的方向向量， 且点P到平面o的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度 因此 PC- A 1 AP 例6如图1.4-18，在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D中，E为线段AB 的中点，F为线段AB的中点， (1)求点B到直线AC,的距离； (2)求直线FC到平面AEC,的距离. D 以D为原点，D,A1,DC,D,D所在直线分别为 x轴、y轴、轴，建立如图1.4-18所示的空间 直角坐标系，则4(1,0,1)，B(1,1,1),C(0,1,1), C.0.L0)E120F(121 E 图1.4-18 所以=@10，aC-(←1l-正=(5小C-(号 x-(好w( (1)取a=AB=(0,1,0),u= (-1,1,-1),则a 所以点直线C的距商为-6可-V号6 ②因为F(=EC-（-10小所以FC1EC,所以FC∥￥面ABC, 所以点F到平面AEC,的距离即为直线FC到平面AEC,的距离， 设平面AEC的法向量为n=(x,y,), n.E=0 2-8=0 x=7 则 → n-EC=0-x+2=0 y=2 取z=1,则x=1,y=2. 所以，n=(1,2,1)是平面AEC,的一个法向量. 又因为AF a-2 √6 所以点F到平面AEC的距离为 a 6 与用平面向量解决平面几何问题的三步甜类似 我们可得出用盥间向量解夫立体几何问题的三步曲”： ú)建立立图形空间向量的系用盥间向量表示问题 中涉及的点线平面把应体几何问透为向量问题： 饣)通过向量运算腕点、线面间的世置关系及 它们必间的距离夹等问题； 6)把向量的结果翻译相应的机何结论 【补充1】 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形， 平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2V3.求点A到平面MBC 的距离. [解]取CD的中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD, 又平面MCD⊥平面BCD,所以MO⊥平面BCD. 以O为坐标原点，分别以直线OC,BO,OM为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-yz,如图所示. 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形， 所以OB=OM=1V3, 则00,0,0.C1,0,0).M0,0.V3).B0,-V3,0,A0.-V3.2V3. 所以BC=1,3,0),BM=(0,V5,3)BA=(0,0,2V3). 设平面MBC的法向量为n=(x,y,z), n LBC, nBC=0. 由 得 n⊥BM n.BM=0, [x+V3y=0, 即N3y+N3z=0. 取x=V3,可得平面MBC的一个法向量为n=(N3,一1 又BA=(0,0,2V3), 所以所求距离d=BA:m=215 5 求点到平面的距离的四步骤 建系 结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系 求向量 在坐标系中求出点B到平面内任一点A对应的向 量AB 设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化 <求法向量 为求解方程组，求出法向量n 得距离 代入求点到平面的距离公式d=AB·n,计算 出答案 n