3.2勾股定理的逆定理 讲义2023-2024学年苏科版八年级数学上册

勾股定理的逆定理 【知识解析】 【知识点1 勾股定理的逆定理】 如果三角形的三边长a，b，c满足+=，那么这个三角形就是直角三角形． 【知识点2 勾股数】 满足+= 的三个正整数，称为勾股数． ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足+=，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③常见的勾股数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 【典例归纳】 【题型1 直角三角形判别的条件】 【例1】下列条件中，不能判定ABC为直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 C．a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0） D．a＝32，b＝42，c＝52 【训练1-1】△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．以c为斜边的直角三角形 C．以b为斜边的直角三角形 D．以a为斜边的直角三角形 【训练1-2】△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是　　．（填写序号） （1）a：b：c＝5：12：13，（2）a＝1.5，b＝2.5，c＝2，（3）（a﹣b）2+2ab＝c2，（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，（5）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n为大于1的正整数） 【训练1-3】如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 勾股数】 【例2】下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．30，40，50 D．，， 【训练2-1】在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．250 B．288 C．300 D．574 【训练2-2】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　 　； （2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　 　和　 ． 【训练2-3】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　 　，8，10 ②5，　 　，13 ③8，15，　 　． （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组． （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值． 【题型3 格点图中求角度】 【例3】如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为　　°． 【训练3-1】如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB＝α，则∠BPC的度数为　 　（用含α的式子表示）． 【训练3-2】如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠AOB+∠COD＝　 　°． 【训练3-3】如图所示的是正方形网格，则∠MDC﹣∠MAB＝　 　°（点A，B，C，D，M．网格线交点）． 【题型4 勾股定理及逆定理的应用（求线段长度）】 【例4】如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，且AD2﹣DC2＝BC2，AC＝16，CD：AD＝3：5，求BC的长． 【训练4-1】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AH＝3，CH＝4，AC＝5，求BH的长． 【训练4-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12，求AC长． 【训练4-3】如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，AB于点E，求DE的长． 【题型5 勾股定理及逆定理的应用（求面积）】 【例5】如图△ABC的三边长为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为（　　） A．30 B．24 C．60 D． 【训练5-1】如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝6，AB⊥