3.1勾股定理讲义2023-2024学年苏科版八年级数学上册

勾股定理 【知识解析】 【知识点1 勾股定理】 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=． 【知识点2 勾股定理的验证】 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的．用面积方法证明勾股定理是最常见的一种方法. 【证明方法】如图所示：大正方形的面积=4个直角三角形面积+小正方形面积 故：，化简得：+= 【知识点3 勾股定理的应用】 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【典例归纳】 【题型1 勾股定理的认识】 【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）已知a：b＝3：4，c＝10，则a＝　 　，b＝　 　； （2）已知a＝6，b＝8，则斜边c上的高h＝　 　． 【训练1-1】在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝　 　． 【训练1-2】在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（　　） A．AC2+AB2＝BC2 B．AB2+BC2＝AC2 C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+BC2＝AB2 【训练1-3】在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（　　） A． B． C．h2＝ab D．h2＝a2+b2 【题型2 利用勾股定理解勾股树问题】 【例2】如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【训练2-1】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（　　） A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 D．192cm2 【训练2-2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（　　） A．94 B．26 C．22 D．16 【训练2-3】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于　 　． 【题型3 利用勾股定理求线段长度】 【例3】已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（　　） A．21 B．15 C．6 D．21或9 【训练3-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB垂足为H，CH＝　 　． 【训练3-2】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为　 　． 【训练3-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝　 　． 【题型4 利用勾股定理求面积】 【例4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（　　） A．3 B．10 C．12 D．15 【训练4-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝3，且BD：DC＝5：4，AB＝5，则△ABD的面积是　 　． 【训练4-2】已知△ABC中，AB＝17，BC＝21，CA＝10，求BC边上的高及△ABC的面积、 【训练4-3】如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD，则△ABC的面积是（　　） A．18 B．36 C．72 D．125 【题型5 勾股定理的验证】 【例5】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【训练5-1】1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 【训练5-2】在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c