21.2.3 因式分解法（讲+练，二大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

21.2.3 因式分解法 学习目标：1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 重点：会运用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 知识点一 因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法 通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.用因式分解法解一元二次方程的理论依据 如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0,即若ab=0,则a=0或b=0. 3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项、合并同类项：将方程的右边化为0; (2)因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积； (3)降次转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程； (4)一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 4.几种常见的用因式分解法求解的方程 (1)形如x²+bx=0的一元二次方程， 将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0,则x=0或 x+b=0,即=0,=-b. (2) 形如x²-a²=0的一元二次方程， 将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即=-a,=a. (3) 形如x²±2ax+a²=0的一元二次方程， 将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)²=0, 则①x+a=0,即==-a;②x-a=0,即==a. (4) 形如x²+(a+b)x+ab=0的一元二次方程， 将左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即=-a,=-b. 即学即练 用因式分解法解下列方程： (1)； (2) 知识点二 十字相乘法 1.十字相乘法 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab整式的乘法 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 反过来，得x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a + b，那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解. 2.十字相乘法步骤： ①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式 即学即练1 解方程x2+6x-7=0.解：分解因式得（x+7）（x-1）=0 ∴x+7=0，或x-1=0. ∴x1=-7,x2=1. x x 7 -1 （x+7）（x-1）=0 简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 即学即练2 解下列方程： (1)x2-5x+6=0； (2)x2+4x-5=0； (3)(x+3)(x-1)=5； (4)2x2-7x+3=0. 用因式分解法解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程中有没有公因式，提取公因式后能否转化为一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单. 一、解法选择基本思路: 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法； 2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法； 3. 化为一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法. 二、一元二次方程的各种解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 (ax + m)2 = n (a≠0，n≥0) 配方法 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) 公式法 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) 因式分解 (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 题型一 因式分解法解一元二次方程 例1 （2023秋·江西宜春·九年级统考期末）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（    ） A．0， B．0，0 C．， D．，0 举一反三1 （2023秋·湖南益阳·九年级校联考期末）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两