21.2.2 公式法（讲+练，三大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

21.2.2 公式法 学习目标：1. 了解求根公式的推导过程. 2. 掌握用公式法解一元二次方程. 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 重点：掌握用公式法解一元二次方程. 难点：了解求根公式的推导过程. 知识点一 一元二次方程根的判别式 1. 一元二次方程根的判别式 将ax²+bx+c=0(a≠0)配方成(x+)2=后，可以看出，只有当b²-4ac≥0时，方程才有实数根，这样b²-4ac的值就决定着一元二次方程根的情况. 一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b²-4ac. 2. 判别式△与一元二次方程根的情况 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示， 即Δ= b2－4ac. 判别式的情况 根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 学生：请问一元二次方程根的判别式的主要应用有哪些？ 老师：①不解方程，判断根的情况； ②根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a,b,c的值；(2)此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；(3)当 b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根。 即学即练 不解方程，判别下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点二 公式法解一元二次方程 1.求根公式 解一元二次方程时，先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 2.公式法 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 注意：：运用公式法解一元二次方程时,首先要将方程化为一般式, 然后当 Δ= b²－4ac≥0时,才可以用求根公式. 3.一元二次方程求根公式的推导 一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程，推导过程如下： 移项，得ax2+bx=－c，二次项系数化为1，得x2+x=， 配方，得x2+x+()2=()2， 即(x+)2=. 当Δ= b2－4ac时， . 4.用公式法解一元二次方程的一般步骤 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a，b，c写出各项系数； 3.计算：b2－4ac的值； 4.判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 5. b²-4ac（△）的取值与根的个数之间的关系 Δ=b2－4ac >0 有两个不等的实数根 Δ=b2－4ac = 0 有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac＜0 没有实数根 公式法 内容 根的判别式 Δ=b2－4ac，注意务必将方程化为一般形式 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（b2－4ac值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 即学即练 用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 例1 （2023·广东梅州·统考一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 举一反三1 （2023·河南鹤壁·统考一模）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（    ） A． 有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 举一反三2 （2023春·山东淄博·九年级鲁村中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 例2 （2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 举一反三1 （2023秋·河南信阳·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 举一反三2 （2023春·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程有