第22章 一元二次方程—— 一元二次方程根与系数与判别式 讲义 2023—2024学年华东师大版数学九年级上册

2023年暑假九年级数学（华师版）提前自学十五：一元二次方程根与系数与判别式 【学习目标】 1. 掌握一元二次方程根与系数的符号关系 2.利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系 【学习过程】 一、学习准备 1.根与系数的关系（韦达定理）的应用 ⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程； ⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征； ⑸利用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．（一些考试中，往往利用这一点设置陷阱）． 2.其他有用结论：（在且a≠0的条件下，我们有如下结论） （1）有理系数一元二次方程有一根，则必有一根 （，为有理数）． （2）若，则方程必 实数根． （3）若，方程不一定有实数根． （4）若，则必有一根 ． （5）若，则必有一根 ． （6）若c=0，则必有一根 ． （7）若b=0,则= (即两根互为 ） （8）若a=c,则= (即两根互为 ） 3.韦达定理与根的符号关系：（在且a≠0的条件下，我们有如下结论） (1)当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值； 若，则此方程的正根小于负根的绝对值． (2)当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根； 若，则此方程的两根均为负根． 二、典例解析 知识点一：确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围 例1 先阅读下列材料，然后按要求解答有关问题. 若关于x的一元二次方程+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和为2，求m的值. 解：设方程的两实根为x,x,那么=－（m+1）, =m+4, 所以 ， 即=9，解得m=3. 请指出上述解题过程中的错误和不完整之处，并写出正确解答过程. 练习1.已知关于的方程有两个实数根，，且，求值． 知识点二：求与一元二次方程两根有关的代数式的值 例2 已知，是方程的两个实数根，则 , , , , 练习：设、是方程的两根，则代数式的值是 ，代数式=___ ____， , , ． 知识点三： 求与一元二次方程两根有关的代数式的值 例3 如果实数分别满足，，求的值 练习：已知m、n是方程的两个根，则方程（ ） A.2011 B.2010 C.-2010 D.2012 知识点四：结合根的判别式，讨论根的符号特征 例4 已知一元二次方程的两根都是负数，求 k的取值范围． 三、小结 1.本节课你学了那些知识： 2.在学习中运用了那些数学思想和方法： 四、当堂检测 1.关于x的一元二次方程x2-x+a(1-a)=0有两个不相等的正根，则a可取的值为 ； (只要填写一个可能的值即可) 2.若α、β是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 3.在等腰三角形abc中，∠a、∠b、∠c的对边分别为a、b、c，已知a=3,b和c是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根，求△abc的周长. 4.已知关于x的方程x2+2（2-m）x+3-6m=0. （1）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根. （2）如果方程的两实数根分别为x1、x2，满足x1=3x2，求实数m的值. 5 . k为何值时，方程4x2—( k—1)x+ k—7=0 的两个根具有下列关系： （1）两根互为相反数 （2）两根互为倒数 （3）有一根为0 $$