专题3.4 函数的应用（一）【六大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题3.4 函数的应用（一）【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 一次函数模型的应用】 1 【题型2 二次函数模型的应用】 2 【题型3 幂函数模型的应用】 4 【题型4 分段函数模型的应用】 5 【题型5 “对勾”函数模型的应用】 6 【题型6 函数模型的综合应用】 8 【知识点1 一次函数、二次函数模型的应用】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 【题型1 一次函数模型的应用】 【例1】（2022秋·福建泉州·高一校考期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022秋·四川广安·高一校考阶段练习）一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·福建·高三统考学业考试）某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示.由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（ ） A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元 【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【题型2 二次函数模型的应用】 【例2】（2023春·广东广州·高一校考期中）某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米.    (1)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？ (2)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？ 【变式2-1】（2023·高一课时练习）小明同学想知道自家煤气灶旋钮放到什么位置时，烧开一壶水最省燃气，于是通过实验统计了旋钮的转角为、、、、时，烧开一壶水所耗燃气情况： 旋钮的转角 （单位：度） 18 36 54 72 90 所耗燃气量 （单位：） 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172 请选择合适的函数模拟拟合以上数据，由此计算：旋钮的转角为多少度时，烧开一壶水所耗然气最少？最少燃气为多少立方米？ 【变式2-2】（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为万元．为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜．经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高，种植速生蔬菜的每个大棚年收入为万元． (1)当时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的，求的取值范围 (2)当时，求蔬菜种植大棚全年总收入的最大值． 【变式2-3】（2023秋·北京西城·高一统考期末）某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r（单位：元）与时间t（，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量p（单位：箱）与时间t之间的函数关系式为． (1)求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？ (2)在未来的这20天中，在保证每天不赔本