专题2.2 基本不等式（4类必考点）-2023-2024学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.2 基本不等式 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 1 【考点2：由基本不等式证明不等式】 3 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 4 【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 5 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 【知识点：基本不等式】 一．基本不等式：≤ （1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0. （2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 二．几个重要的不等式： （1），，当且仅当a＝b时取等号； （2），>0，当且仅当a＝b时取等号； （3），，当且仅当a＝b时取等号； （4），，当且仅当a＝b时取等号； 三. 利用基本不等式求最值问题： 已知x>0，y>0，则： （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.（简记：积定和最小） （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.（简记：和定积最大） 1．（多选）（江西省赣州市2023年期末考试数学试题）已知实数，且，则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．0< 2．（多选）（2023春·河北承德·高二统考期末）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是4 C．的最小值是8 D．的最小值是 3．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知，若，则的最大值为 ． 4．（2022秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知，则的最小值是 . 5．（2023春·广东广州·高一校考期中）若，，，则的取值范围是 . 6．（2023·新疆喀什·高一校联考期末）若，且，则的最小值为 ． 7．（2023春·云南昭通·高二校考期末）已知正数x，y满足，则的最大值为 . 8．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知，其中，，，则的最小值为 ． 9．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知正实数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【方法技巧1】 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　 【方法技巧2】 通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值．　　 【考点2：由基本不等式证明不等式】 1．（2022秋·高一课时练习）若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2022秋·河北保定·高一校考期中）设，，给出下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十八中学校考阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 5．（2023·全国·高一假期作业）已知，，且，求证：. 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 1．（2023·江苏·高一假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2022秋·宁夏中卫·高二统考期末）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A．4 B．1或m C．1 D．1 3．（2022秋·湖北·高一校联考阶段练习）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 4．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）已知，若恒成立，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．24 D．25 6．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 7．（多选）（2023春·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7.5 8．（2023·全