2.2 基本不等式 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 授课人：XXX 1.基本不等式的重要内容和意义 复习导入 重要不等式：一般地， 当且仅当a=b时，等号成立 特别地，如果a>0,b>0,我们用,,可得 当且仅当a=b时，等号成立 当通常把上式称为基本不等式 说明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 复习导入 当且仅当a=b时，等号成立 说明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 算数平均数 几何平均数 基本不等式的证明 新课讲授 方法一：分析法 要证 ① 只要证 ② 要证 ②，只要证 0 ③ 要证③，只要证 ④ 显然，④成立.当且仅当a=b时，等号成立. 方法二：做差法 新课讲授 ∵a>0,b>0, ∴ ∴ 当且仅当a=b时，等号成立 方法三：几何法 新课讲授 如图，AB为圆的直径，C为圆心，AE=a,BE=b,点E为AB上一点，过点E作直径AB的垂线，交圆C于D、F两点，链接AD、CD、BD. E (1)如何用a、b表示CD？CD=________ (2)如何用a、b表示DE？DE=________ RtAEDRtDEB，所以,所以AEBEab，所以DE=. (3)CD与DE的大小关系如何？CD=________DE 几何意义：半径长不小于半弦长 ，当且仅当a=b时，等号成立 注意：一正、二定、三相等 基本不等式的常见变形 (1)a+b≥； (2)ab≤ 拓展： 调和平均数 平方平均数 2.利用基本不等式求最值 例1 已知x>0,求x+的最小值 . 经典例题 解： ∵x0,0 ∴x+2 当且仅当x，即=1,x=1时等号成立, ∴，所求的最小值为2 一正 二定 三相等 变式 已知x<0,求x+的最大值 . 经典例题 解： ∵x0, ∴x>0,>0 ∴(x)+() 2 ∴ x+-2， 当且仅当 (x)=()，即=1,x=-1时等号成立, ∴所求的最大值为-2 例2 已知x>3，函数y=x+x为何值时，函数有最值，并求其最值. . 经典例题 解：∵x>3， ∴x-3>0 ∴y=x-3+2+3=5 当且仅当x-3=，即x=4时，等号成立，函数有最小值，最小值为5 例3 已知篱笆成矩形花坛，边长分别为a、b，面积为36，求篱笆用料的最小值(求a+b即可). . 经典例题 解：已知a>0，b>0,ab=36， 则6， 又∵a+b≥2a=b=6时，等号成立 ∴a+b的最小值为12 . 当ab为定值时，求和a+b的最小值 变式 已知篱笆成矩形花坛，边长分别为a、b，周长为36，求围成的面积的最大值. . 经典例题 解：已知a>0，b>0,a+b=18， 又∵a+b≥2 ∴≤==81，a=b=9时，等号成立 ∴ab的最大值为81 . 当a+b为定值时，求积ab的最大值 最值定理 小节 已知x、y都为正数，求证： 如果积xy=P，那么当x=y时，和x+y有最小值2 如果和x+y=S,那么当x=y时，积xy有最大值 例4 已知x>0，y>0，且+=1，则x+y的最小值为______. 经典例题 解：xy=(xy)() =+10≥210=6+10=16. 当且仅当x=4，y=12时等号成立, ∴x+y的最小值为16. 经典例题 例5 若0<x<1，求函数y=x(1-x)的最大值. 解：∵0<x<1， ∴1-x>0 又∵ y=x(1-x)≤=， 当且仅当x=(1-x)，即x=时等号成立. 此时函数y=x(1-x)的最大值为 变式 若0<x<，求函数y=x(1-2x)的最大值. 经典例题 解：∵0<x<， ∴1-2x>0 又∵ y=2x(1-2x)≤=， 当且仅当2x=(1-2x)，即x=时等号成立. 此时函数y=x(1-2x)的最大值为 $$