圆锥曲线综合问题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线综合问题 基础知识回颇 椭圆 双曲线 抛物线 定义 到两定点F,F2的距离之 到两定点F1,F2的距离之 与定点和直线的距离相等 和为定值2a(2a>F1F20的 差的绝对值为定值2a 的点的轨迹 点的轨迹 (02a<FFz)的点的轨迹 程 x2 x2y2 a2b2 =1(a>b>0) a2b2 =1(a>0,b>0) y2-2px 图 B A F O CF A,文 像 范围 -asx≤a,-b≤y≤b x2a,y∈R X≥0 中心 原点O0,0) 原点O0,0 顶点 (a,0).(-a,0), (0,b),(0. (a,0),(-a,0) (0,0) -b) 对称轴 x轴，y轴： x轴，y轴： X轴 长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a,虚轴长2b. 焦点 F1c,0F2(-c,0) F(c,0)nFz(-c,0) F号0) 焦距 2c (e-a2-b2) 2cc-a2+b2) 离心率 e=e(0<e<) e--(e>D) e-1 a a 准线 渐近线 a 通径 20 20 2p 二.典例精析 题型一：弦的中点问题 例1：(1)已知一直线与椭圆42+9y2=36相交于A,B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1), 求直线AB的方程. (2)设F为抛物线C:y2=4r的焦点，过点P(一1,0)的直线1交地物线C于A,B两点，点 Q为线段AB的中点.若as4 alcol(FO)=2,求直线1的斜率. 变式训练1：已知双曲线2x2一2=2 (1)求以M2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线的方程： (2)过点N(1,1)能否作直线1，使直线1与所给双曲线交于P1,Pz两点，且点N是弦PP2 的中点？若存在，求出直线1的方程；若不存在，请说明理由 题型二定点问题 例2：己知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8 (I)求动圆圆心的轨迹C的方程： (2)已知点B(一1，O),设不垂直于x轴的直线1与轨迹C交于不同的两点P, Q,若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线1过定点， 变式训练2：若直线1：y=kx+m与椭圆C:x24+y23=1相交于A,B两点(A,B不是左右 顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线1过定点，并求出该定点的坐标， 题型三：定值问题 例3：已知直线1与椭圆C:x23+y22=1交于P1,),Qx2,2)两点，且△OPQ的面积 S=6)2,其中O为坐标原点.证明：x21十x22和y21十22均为定值. 变式训练3：己知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆的右焦点F 的直线交椭圆于A,B两点，+与a=6,一1)共线. (1)求椭圆的离心率： (2)设M为椭圆上任意一点，且=入十4(X,μ∈)，证明：入2+μ2为定值. 题型四：与弦有关的范围与最值问题 例4：已知曲线C:y2=一4xx>-3),直线1过点M1,0)交曲线C于A,B两点，点P是 AB的中点，EP是AB的中垂线，E点的坐标为xo,O),试求的取值范围. 变式训练4：已知椭圆C:x2a2十y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点 的距离为3.(1)求椭圆C的方程： (2)设直线1与椭圆C交于A,B两点，坐标原点0到直线1的距离为3)2，求△A0B面积的 最大值 题型五：对称问趣 例5：已知抛物线y=r2一1(a≠0)上总有关于直线x十y=0对称的相异两点，求a的取值范 围. 变式训练5：已知椭圆C:x24十y23=1,试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的 点关于直线y=4x十m对称. 三.方法规律总结 1.在给定的圆锥曲线x,)=0中，求中点为(m,)的弦AB所在直线方程或动弦中点M ,y)轨迹时，一般可设A,),B2,2),利用A,B两点在曲线上，得，y)=0,f 2,2)=0及x十x2=2m(或2x),十2=2n(或2y),从而求出斜率k4B=y1一y2x1一x2,最 后由点斜式写出直线AB的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x,y之间的关系， 整体消去，，为，2，得到点M(x,y)的轨迹方程. 2.对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，利 用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线或共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方程或 方程组.为简化运算应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再利用直 线或曲线过定点的知识加以解决，以“求直线：y=十2k十1(k为参数)是否过定点？”为例， 有以下常用方法：①待定系数法：假设直线1过点(C,c),则y一c2=kc一9)，即y=a一 Gk+c,通过与已知直线方程比较得c1=一2，c2=1.所以直线1过定点(-2,1).题中“k 不仅可以是一个参数，还可以是一个由参数组成的表达式.②赋值法