圆锥曲线离心率问题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线的离心率问题 圆锥曲线是高中数学的重点也是高考的热点，而离心率是圆锥曲线的一个重要性质和活跃元 素，关于离心率的问题在数学高考中频繁出现，值得关注 一、利用圆锥曲线的离心率解决求参数值问题。 例1：若椭圆。+少=1的离心幸等于5 则m= A m 【变式训练1】若椭圆x29+y2m+9=1的离心率为12，则m的值为一 求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数α，bc的比例关系（只需找出 其中两个参数的关系即可)，方法通常有两个方向： (1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那 么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与α有关，另一条边为焦距。从而可 求解 (2)利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用α，b,c进行 表示，再利用条件列出等式求解 二、直接求出a、c,代入公式e=二求解离心率. a 例2：已知双曲线二-上=1a>2)的两条渐近线的夹角为5，则双曲线的离心率为 a22 3 【变式训练2】在△ABC中，∠ACB=60°，sinA:sinB=8:5,则以A、B为焦点且过点C的椭圆 的离心率为 三、挖掘题意，直接求c与a的比值，得离心率 例3：在面直物坐标系0中，若双菌线号多=a>0b>0)的右然意P仁)到一条东行 线的距腐为 一C,则其离心率的值是 1 【变式训练3】在平面直角坐标系中，有椭圆x2a2+y2b2=1(ab>0)的焦距为2c,以0为圆心，a 为半径的圆.过点\a\vs4 al\col(f(a2c),0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e= 四、利用关于a,c的齐次式求离心率 根掘题设条件，借助α、b、c之间的关系，消去b,得到关于a、c的齐次式，进而得到关于 e的一元方程，从而解方程得出离心率e. 例4：己知椭圆 京=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0，c), △EFA的面积为一，则椭圆的离心率为 【变式训练4】若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率 是 六.利用坐标化思想求离心率。 例5：已知O为坐标原点，F是椭圆C:x2a2十y2b2=1(a>b>0)的左焦点，A,B分别为C的左， 右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线I与线段PF交于点M,与y轴交于点E若 直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 【变式除】过双鱼线号茶-1a>06>0的右顶直4作斜半为-1的直统，该线与双用 线的两条渐近线的交点分别为B,C,若AB=!BC,则双曲线的离心率是」 圆锥曲线离心率范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： (1)题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要 求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用α，b,C表示，且点坐标的范围就是 求离心率范围的突破口 (2)若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域 即可 (3)通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：∈(0，I),双曲线： eE(1,+oo) 的6：已知F足双自战。一Q>0,b>0)的左焦点，E是该双线的右顶点，过点P国 直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值 范围为」 【变式训练6】设A、B是椭圆C:。+上-1长辅的两个端点，若C上存在点M满足 3 m ∠AMB=120°，则m的取值范围是 例7：设F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x=a2c上存在点P, 使线段P℉1的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围为 【变式训练7】椭圆x22十y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F,F2,若椭圆上存在一点P,使PF1⊥PF2, 则椭圆离心率e的取值范围为 例8：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e.若椭圆上存在 点P,使得P℉1P℉2=e,则该椭圆离心率e的取值范围是 【安式练8】已阳销颜若+茶=口>6>0的k、右税直分别%5-C0,5G0,方程 a2 圆上存在点P使 则该椭圆的离心率的取值范围为 sin∠PFE,sin∠PF,E 【巩固训练】 1.若双曲线x2a2-y23=1(a>0)的离心率为2，则a= 3 2.已知双曲线的渐近线方程为y=士二x,则此双曲线的离心率为】 4 已知椭圆C:之+二=1的一个焦点为(2,0)，则C的离 4 4若>1，测双金苔广=1的腐心幸约红钢足 5.椭圆厂：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F