外接球与内切求问题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

立体几何中的“内切球”与“外接球”问题 一·球与柱体：规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以 外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积 或者表面积等相关问趣 1.球与正方体：如图1所示，正方体ABCD-A,B,C,D1,设正方体的棱长为a, E,F,H,G为棱的中点，O为球的球心。常见组合方式有三类： ①球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG和其内切圆， 则0=r=号，②球与正方体各棱相切的球。截面图为正方形 EFG分接，则OG=R=号。：③g为正方传的你桂 球，截面图为长方形ACC,A,和其外接圆，则 4Ol=R'=3a 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合间题，常用工具是截 2 面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正 方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题。 例1：有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与正方体各条棱相 切，第三个球过正方体各顶点，则三个球面积之比为 【变式训练1】若正方体外接球的体积是，则正方体的棱长等于：该正方体内切球 的表面积为 2.球与长方体：长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切 球.设长方体的棱长为α，b,c,其体对角线为L.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的 对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径 a2+b2+c2 例2：在长方体ABCD-AB1CD1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，D1B与DC所成 的角是60，则长方体的外接球表面积是 【变式训练2】若长方体ABCD-AB,CD,中，AB=1,且AB、BC,与底面ABCD所成的角 分别为60、45，则长方体ABCD-AB,CD,的外接球的体积为_ 3.球与正棱柱：球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例， 介绍木类题目的解法一一构造直角三布形法。设正三棱柱ABC-A,B,C,的高为h,底面边 长为a,如图2所示，D和D,分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高 D0,的中点0.00-40=RD-5 a,借助直角三角形AOD的勾股定理，可求 2+3a 例3：在三棱柱ABC-AB,C1中，已知底面aABC为正三角形，A41L平面ABC,AB=6V3, A4=16,则该三棱柱外接球的表面积为 【变式训练3】已知三棱柱ABC-A8,C的侧棱与底面垂直，A4=2,8C=2,∠BAC= 则三棱柱ABC-A,B,C,外接球的体积为 二.球与锥体：规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的 组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查 几何体的体积或者表面积等相关问题. 4.球与正四面体：正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接 球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径 与正四面体的棱长关系。如图4，设正四面体S-ABC的棱长为a, 内切球半径为F,外接球的半径为R,取AB的中点为D,E为S 在底面的射影，连接CD,SD,SE为正四面体的高。在截面三角形 SDC,作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆，即为内 图 切球的截面。 因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O。此时， 2 CO=OS =R,OE =r,SE= V34,CE v3 a,则有R+r= R-=cf 解得：R=6 a,P= 6 α.这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径 12 的等量关系进行求解，同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记 这些数量关系，可为解题带来极大的方便. 例4：各棱长均为√2的正四面体A-BCD的内切球半径为；若该正四面体A-BCD的内 切球表面积和外接球表面积分别为5，S,则=一 【变式训练4】正四面体ABCD的外接球的体积为43π，则正四面体ABCD的体积是 5.球与三条侧棱互相垂直的三棱锥：球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现 在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。 常见两种形式：①三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一一个正方体，它的外接球 的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图5，三棱锥A,-AB,D的外接球的球心和正方体 ABCD-A,BC,D,的外接球的球心重合，设AA,=a,则 R、 a。②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以 2 0 补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球 心，R2=a2+b2+c22 图5 (1为长方体的体对角线长)。 4 4 6.球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有