球体的相关计算 讲义-2023届高三数学二轮专题复习

球体的相关计算 1.球体的表面积：S=4π巴 球体的体积：=43π恐 2.球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式2=2-d 2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R, 则2R=a2+b2+c2. 3.正方体的棱长为a,外接球的半径为R,内切球的半径为r (1)若球为正方体的外接球，则2R=3a (2)若球为正方体的内切球，则2r=a. 例1：球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形 三个顶点，其中AB=18,BC=24、AC=30,球心到这个截面的距离 为球半径的一半，求球的表面积. 变式训练1：在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分 别为49πcm2和400πcm2.求球的表面积. 例2：(1)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球0的 球面上，则球O的表面积为 (2)己知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球 的球面上，则该圆柱的体积为 (3)正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球 的表面积是 变式训练2：(1)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两 个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于 (2)己知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的 直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥SABC的体 积为9，则球0的表面积为 (3)己知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S,与其内切球 的表面积S2的比值为 巩固训练 1.过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD,且两两夹 角都为60，若球半径为R,求弦AB的长度. 2.如图，在圆柱O02内有一个球0，该球与圆柱的上、下底面及母 线均相切.记圆柱OO2的体积为V1,球0的体积为V2,求V12的值. 0: ￥0 3.已知直三棱柱ABC-AB C的6个顶点都在球O的球面上，若AB= 3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,求球0的半径球体的相关计算 【基础知识整合】 1.球体的表面积：S=4R2 球体的体积：V=43πR3 2.球心到截面的距离d,截面圆的半径为r,球半径为R,则r2=R2-d2 3.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,C,外接球的半径为R,则R=V0+b+C 2 4.正方体的棱长为a, 0)正方体的外接球半轻为R,则R=尽。 a 2 (②)正方体的内切球半径为，则r一 1 5.正四面体的棱长为a,则 ①正方体的外接球半径为R。则R= -a. ②正方体的内切球半径为n则r=V6 2a. 例1：(1)球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个项点，其中 AB=18,BC=24、AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积 为 【解析】(1)，AB=18,BC=24,AC=30,.AB2+BC2=AC2,△ABC是以 AC为斜边的直角三角形.∴，△ABC的外接圆的半径为15，即截面圆的半径r=15,又球 心到截面的距离为d=。R,∴R2-(5R)2=152,得R=10V3..球的表面积为 S=4πR2=4π(10V3)2=1200π. (2)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球0的球面上，则球0的表面积为 【解析】依题意得，长方体的体对角线长为32十22+12=14，记长方体的外接球的半径为R, 则有2R=14,R=14)2,因此球0的表面积等于4rR2=14π. (3)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的 体积为 【解析】设圆柱的底面半径为r,则r2=12一\a\vs4\al\col(八f(12)2=34,所以，圆柱的 体积V=34π×1=3.4. (4)正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是 【解析】设正四棱锥的外接球半径为R,顶点P在底面上的射影为0，因为OA=12AC=12AB2 +BC2=12(2\r(2))2+(2\r(2))2=2,所以P0=PA2-0A2=(2\r(2))2-22=2.又0A =0B=0C=0D=2,由此可知R=2,于是S球=4rR2=16r. 【变式训练1】 (1)在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πCm2和400πcm2.则 球的表面积为一 【解析】如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1∥BO,且若 0、O2分别为两截面圆的圆心，则O0,上A01,O0,⊥B0,,设球 的半径为R. π·O2B2=49元，∴.02B=7(cm）同理π0A2=400m, 01A=20(cm)设001=cm,则00，=(x+9)Cm·在Rt△00，A中， R2=x2+202:在R1△00，B中，R2=(x+9)2+72, x2+20=72+(x