2.4线段的垂直平分线（第2课时） 课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

2.4 线段的垂直平分线（第2课时） CLL 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 2.线段垂直平分线的性质 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 温故知新 3.线段垂直平分线的判定 1.线段垂直平分线的定义 垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. CLL 基本作图：“作一条线段的垂直平分线” 作法： (1)分别以点A与点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于M、N两点； (2)过M、N 两点作直线MN. 直线MN就是线段AB的垂直平分线. A B M N CLL 已知三个村庄的位置如图所示，经过商量，三个村庄决定联合打一眼机井向三个村庄供水，要想使机井到三个村庄的距离相等，机井应该设在何处？并说明你的理由. 实验与探究 A B C CLL 利用基本作图“作一条线段的垂直平分线”，可以作出过已知线段中点的垂直平分线，那么如何利用这一基本作图，推广到“过一点作已知直线的垂线”呢？ l 由于一个点与一条直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，所以应分两种情况进行讨论. 实验与探究 CLL (1)点在直线上 求作：过点P 作直线l 的垂线. 已知：直线l 和l上一点P(如图) 作图思路：先在直线l上作出以点P为中点的一条线段AB ，再利用上面学过的基本作图，作线段AB的垂直平分线，那么这条直线就经过点P ，又与直线l 垂直. 作法： ①以点P 为圆心，以任意长为半径作弧，与直线相交于点A和点B； ②作线段AB的垂直平分线CD. 直线CD就是过点P的直线l 的垂线. P A B C D l CLL (2)点在直线外 求作：过点P 作直线l 的垂线. 已知：直线l 和l 外一点P(如图) P 作图思路： 先在直线l上作出一条线段AB ，并且使点P到线段AB两端的距离相等， 再利用基本作图“作线段AB的垂直平分线”，那么这条直线经过点P ，又与直线l垂直. l CLL P K 作法： ①任意取一点K，使点K和点P分别在直线l 的两侧； ②以点P为圆心， PK的长为半径作弧，与直线l相交于点A和点B； ③作线段AB的垂直平分线CD. 直线CD就是过点P的直线l 的垂线. A B C D l CLL 最短路径问题 A l P 依据：垂线段最短 类型一：一个点 (在l上找一点P，使PA最短) 类型二：两点异侧 (在l上找一点P，使PA+ PB最短) A l B P 依据：两点之间线段最短 点P 即为所求作的点. 点P 即为所求作的点. CLL 类型三：两点同侧(在l上找一点P，使PA+ PB最短) A l B C B′ P 依据：两点之间线段最短 点P 即为所求作的点. CLL A l B 将本题抽象为数学语言： 已知点A ，B两点在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使AP+BP的值最小. 例题鉴赏 例1 海伦是古希腊的一位数学家，测量学家.相传，有一天一位将军专程拜访海伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河l 边让马饮水.怎样走路程最近呢？”你能帮将军解答这个问题吗？说出你的作法，在图中作出最近的路线. CLL 作法： (1)过点B作直线l 的垂线BC，垂足为C； (2)在BC上截取点B′，使B，B′分别在l 的两侧，且CB′ = CB； (3)连接AB′，与直线l交于点P； 点P就是所求作的直线l 使AP+BP的值最小的点 A l B C B′ P CLL B A C D 在AC上找一点P，使PB+ PD最短 D′ P CLL B A C D 在AC上找一点P，使PB+ PD最短 B′ P CLL 类型四：角内两点 (在l1、 l2上找点P、Q，使路径最短) B A l1 l2 A′ B′ P Q CLL 类型五：角内一点 (在OA上找点E 、 OB上找点F，使△PEF的周长最短) B A O P P1 P2 E F CLL 请你说明作图的道理 理由：因为点B，B′ 关于直线l 对称，根据轴对称的基本性质， l 是BB′ 的垂直平分线，所以PB=PB′ . 如果再在直线l上另取一点P′ ， 连接AP′ , B′ P′ , 根据三角形的三边关系的性质(或两点之间线段最短)可知： AP′ + B′ P′ >AB′， 即AP′ + B′ P′ > AP+BP, 所以AP + BP 的值最小， 将军走的路程最近。 A l B C B′ P P′ CLL 作 业 中午作业： 作业： 《同步练习册》 《同步练习册》 CLL WKK 18 $$