22.1.3二次函数y=a（x-h)²+k的图象和性质-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十二章 二次函数》 22.1.3 二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质 知识点一 二次函数y＝ax2+k的图象和性质 ◆1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线 x＝0） y轴（或直线x＝0） 顶点坐标 (0，k)，抛物线最低点 (0，k)，抛物线最高点 最值 当x=0 时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大. 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小. ◆2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. ★上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 知识点二 二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质 ◆1、二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质 y＝a(x﹣h)2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，0)，抛物线最低点 (h，0)，抛物线最高点 最值 当 x = h 时，y最小值 =0 当x = h时，y最大值 =0 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. ◆2、抛物线y＝a（x﹣h）2与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当h > 0 时，向右平移h 个单位长度得到. 当h< 0 时，向左平移个单位长度得到. ★左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 知识点三 二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质 ◆1、二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质 y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0 图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点 最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. ◆2、抛物线y＝a（x﹣h）2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 平移规律(设 h＞0，k＞0)： ★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变. 题型一 二次函数y＝ax2+k的图象与性质 【例题1】关于二次函数y＝﹣2x2+3，下列说法中正确的是（　　） A．它的开口方向是向上 B．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 C．它的顶点坐标是（﹣2，3） D．它的对称轴是直线x＝﹣2 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2 +k的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的. a＞0，x<0时，函数值y随x的增大而减小；x>O时，函数值y随x的增大而增大 ； a＜0，x<0时，函数值y随x的增大而增大；x>O时，函数值y随x的增大而减小 . 【变式1-1】（2022秋•新华区校级期末）抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】由图象可得二次函数y＝x2+1的图象性质： （1）二次函数y＝x2+1是一条曲线，把这条曲线叫做　 　． （2）二次函数y＝x2+1中，二次函数a＝　 　，抛物线y＝x2+1的图象开口　 　．顶点坐标（　　，　　），图象有最　 　点，y 有最　 　值． （3）自变量x的取值范围是　 　． （4）观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于　 　对称，从而图象关于　 　对称． 【变式1-3】（2022秋•河东区校级月考）二次函数y＝ax2+k（a≠0）的图象经过点A（1，﹣1），B（2，5）． （1）求该函数的解析式． （2）若点C（﹣2，m），D（n，7）也在函数的图象上，求m，n的值． 【变式1-4】已知抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1交于点（m，3）． （1）求m和n的值； （2）求抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴； （3）当x取何值时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而